Addition von Potenzen mit gleichem Exponenten

Question

Ich weiß, dass bei 16^x + 4^x = 6 das x = 1/2 sein muss. Beim Logarithmieren erhalte ich aber stets 0,43. Was mache ich falsch?

Comments

Zeig mal wie du "logarithmiert" hast, also Zwischenschritte.

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log 16^x + log 4^x = log 6

x * log 16 + x * log 4 = log 6

x * (log 16 +log 4) = log 6

x = log 6 / (log 16 + log 4)

x = 0,4308270834535260302422898239913 laut Windows-Rechner, es muss aber 0,5 rauskommen

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Siehe Antwort, du hast das Logarithmusgesetz falsch angewendet. ;)

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Danke für den Hinweis Yukawah: aber wie mache ich das nun richtig?

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4^x * 4^x + 4^x = 6

4^{2x} +4^x=6 setze a = 4^x

a^2+a-6=0

x1,2 = - 1/2 +- √(1/4+24/4) = -1/2 +- 5/2

x1 = 4/2 = 2,  x2= - 6/2 = - 3

x1 =4^x <-> x = log4(2) =1/2 (log4 ist der logarithmus zur basis 4)

x2 ist negativ und muss nicht betrachtet werrden

Answer 1

Hi wau14,

ohne Rechenweg kann ich nur vermuten, aber ich denke du machst den Fehler, dass du bei der Anwendung des Logarithmus auf der rechten Seite nicht den gesamten Ausdruck logarithmierst, sondern jeden Summanden einzeln, was natürlich falsch ist.

$$ 16^x+4^x = 6 $$

Also falsche Umformung:

$$ \log(16^x)+\log(4^x) = \log(6) $$

Richtig wäre:

$$ \log(16^x+4^x) = \log(6) $$

Wobei dich das nicht wirklich zum Ziel führen wird.

Gruß

Comments

Wenn du (Fragesteller)

$$y=4^x$$

mit

$$16^x=4^{2x}$$

setzt, bekommst du

$$y^2+y=6$$

und das kannst du dann analytisch machen.

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Ah jetzt hast du den Rechenweg ja doch gepostet und meine Vermutung bestätigt.

Hier mal ein paar Lösungsvorschläge:

1. Vorschlag:

$$ 16^x + 4^x = 6 \\ 4^x(4^x+1) = 2 \cdot (2+1) \\\Rightarrow 4^x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$

2. Vorschlag: \( 16^x = (4^x)^2 \) und Substitution \(z = 4^x\) ergibt die quadr. Gleichung

$$ z^2 + z - 6 = 0 $$

$$ z_1 = -3 \vee z_2 = 2 $$

Rücksubstitution: \( 4^x = -3 \) hat keine Lösung also betrachten wir nur noch

\( 4^x = 2 \) womit wir wieder auf \(x = \frac{1}{2} \) kommen.

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Danke an Yukawah und Yakyu.

Das mit dem quadratischen Lösungsansatz leuchtet mir ein. Müsste das Ganze aber nicht trotzdem über den Logarithmus lösbar sein?

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Machst du doch sozusagen am Ende bei

$$4^x=2 \ . $$

Da den Logarithmus zur Basis 4 anwenden.

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Spontanes Teamwork ;).

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Vielen Dank für alle Antworten!

Answer 2

$$ 16^x + 4^x = 6 $$
$$ (4^2)^x + 4^x = 6 $$
$$ (4^x)^2 + 4^x = 6 $$
$$ S= 4^x$$
$$ S^2 + S = 6 $$
$$ S^2 + S +\left(\frac12\right)^2= 6 +\left(\frac12\right)^2$$
$$ \left( S +\frac12\right)^2= 6 +\frac14$$
$$\sqrt{ \left( S +\frac12\right)^2}=\pm \, \sqrt{ \frac{25}4}$$
$$ S +\frac12=\pm \,  \frac{5}2$$
$$ S =-\frac12\pm \,  \frac{5}2$$
$$ S_1 =-3$$
$$ S_2 =+2$$
Resubstitution - nur positive Werte "S" für reelle Zahlen definiert
$$ 2= 4^x$$
$$ 2^1= (2^2)^x$$
$$ 2^1= 2^{2x}$$
Exponentenvergleich bei gleicher Basis auf beiden Seiten oder Logarithmus zur Basis 2
$$ 1= {2x}$$
$$x=\frac12$$