Mathematik: Logik 1: Aussage beweisen:

Question

ich habe folgende Aufgabe zu beweisen:

¬(∀x∈M: A(x)) ⇔ ∃x∈M: ¬A(x)

Meine Vermutung ist, dass ich eine Wahrheitstafel aufstellen muss, denn etwas
anderes haben wir heute nicht gelernt.

Liege ich damit richtig?

Florian T. S.

(Bitte keine Lösung! Sollte ich Probleme haben, werde ich eine weiter Frage stellen)

Answer 1

ja das kann man mit einer Wahrheitstafel zeigen.

Gruß

Comments

Könntest du mir zeigen wie die Wahrheitstafel aufgebaut ist?
Ich bin mir gerade nicht sicher, welche Aussagen ich nutzen muss :-/

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∀x∈M: A(x)	¬(∀x∈M: A(x))	∃x∈M: ¬A(x)
w	f	f
f	w	w

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Oh mann ich hab viel zu kompliziert gedacht. Ich wollte noch zeigen,
dass A(x), nicht A(x), x Element M etc wahr / falsch ist :-/

Danke Yayku!

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Kein Thema, grade am Anfang kommt es oft vor, dass man Aufgaben "zu kompliziert" angeht :).

Was aber wichtig ist an dieser Aufgabe: Das man erkennt das die Negation von "für alle gilt ...",

"es gibt mindestens ein ... für welches dies nicht gilt " ist und nicht den beliebten logikfernen Fehler "es gibt keinen..:"

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Genau den hab ich eben gemacht! Dann bin ich auch "für nicht alle..." gekommen.
Aber deine Aussage ist noch besser! Vielen Dank Yakyu :-))

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Wenn man ∃ negiert erhält man dann "es gibt keins" oder "für alle"?

Gruß

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Kommt drauf an, was dahinter steht, kann man nämlich so oder so formulieren.

Beispiel: "Es gibt eine graue Katze". Negation:

"Es gibt keine graue Katze" oder "Alle Katzen sind nicht grau".

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Alles klar, ich verstehe.

In diesem Fall für:  ¬(∃x∈M: A(x))  <=> ∀x∈M: ¬A(x)

Als Lösung habe ich:
       
 ∃x∈M: A(x)                ¬(∃x∈M: A(x))                   ∀x∈M: ¬A(x)
        W                                    F                                      F
        F                                     W                                     W

Und das negierte ∃ habe ich als "für keine" aufgefasst.
Sollte so stimmen oder?

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Ja aber wozu die zusätzliche Tabelle? Du hast doch einfach nur \(A(x)\) mit \(\neg A(x) \) vertauscht, was ja auch einfach nur eine Aussage ist. Außerdem ist:

$$ A = \neg( \neg A) $$

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War die zweite Aufgabe die wir noch mittels Wahrheitstabelle lösen sollten :-)

Jetzt sehe ich erst das die Aufgaben gleich sind blos umgekehrt negiert,
Tolle Übungsaufgabe :-D

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Achso ok dann verstehe ich warum. Sieht stark nach Vorkurs aus :D.

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Exakt Yakyu :-D Spaß macht mir Mathematik schon immer, hoffentlich kann ich den Bachelor auch durchziehen :-)

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Gut dann viel Erfolg.

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Danke dir! Und nochmals vielen Dank für die super Hilfe!

Answer 2

Beschreibe mal die Aussage

∀x∈M: A(x)

mit deinen eigenen Worten. Nimm mal an x sei 1, 2, 3, 4 oder 5. Was bedeutet die Aussage dann.

Jetzt negierst du die Aussage. Also das was gerade noch gegolten hat soll nicht mehr gelten.

¬(∀x∈M: A(x))

Was bedeutet das jetzt für deine x = 1, 2, 3, 4 oder 5?

Jetzt beschreibst du mal die Aussage auf der rechten Seite.

∃x∈M: ¬A(x)

Trifft das jetzt auf die oben gemachte Negierung zu?

Welches Gesetz aus der boolschen Algebra könnte man da eventuell anwenden um das zu beweisen?

Comments

∀x∈M: A(x) bedeuteut: Für alle x der Menge M gilt die Aussage A(x).
Negiert wäre das dann: Für kein x der Menge M gilt die Aussage A(x)

Das bedeutet dann also, wenn meine x (1,2,3,4,5) in der Menge M enthalten sind, ist die Aussage wahr.
Sobald ein x in der Menge fehlt, ist die Aussage falsch.

Bei der Negation darf kein x in der Menge M enthalten sein (dann wäre sie wahr),
heist wenn ein x in der Menge enthalten ist, ist die Aussagen falsch.



∃x∈M: ¬A(x) bedeutet: Für mindestens ein x der Menge M gilt die Aussage ¬A(x).
Also sobald mindestens ein x der Menge M nicht Bestandteil der Menge M ist, ist die Aussage erfüllt,
Ist kein x der Menge M nicht Bestandteil der Menge M, so ist die Aussage falsch.

Zu den letzten Fragen muss ich mir noch etwas überlegen :-)

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∀x∈M: A(x) bedeuteut: Für alle x der Menge M gilt die Aussage A(x). 
Negiert wäre das dann: Für kein x der Menge M gilt die Aussage A(x) 

Nicht ganz. Was ist wenn es nur für eine echte Teilmenge von M gilt.

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Gute Frage, heute war meine erste Vorlesung und von Teilmengen haben wir bisher noch nicht gelernt (Wobei ich mir aber darunter etwas vorstellen kann).

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Weiterhin besagt x ∈ M das x auf jedenfall ein Wert aus der Menge M ist. Daran ändert sich nichts. Was sich ändert ist A(x). Und darauf ist dann auch dein Augenmerk zu richten.

∀x∈M: A(x)

Es bedeutet das wenn M = {1, 2, 3, ..., n}

Dann ist

A(1) wahr, A(2) wahr, A(3) wahr, ..., A(n) wahr

Was ist jetzt die Negation. Das alle falsch sind ist nicht richtig. Weil es auch noch andere Möglichkeiten gibt als nur alle wahr und alle falsch.

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Eine Negation wäre glaube ich noch, dass es mindestens ein A(x) gibt, für das x∈M nicht erfüllt ist?

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Nein quatsch,
Die obige Aussage ist dann wahr, wenn A(x) für alle x wahr ist.

Falsch wäre sie dann, wenn es ein x gibt, für das A(x) nicht efüllt ist.
Also wäre die Negation ja dann ∃x∈M: ¬A(x)