Grenzen zwischen Definition, Logik und Beweisen

Question

Ich habe mich gefragt, wo eigentlich die Grenze zwischen Definieren und Beweisen liegt.

Manche sagen ja, man könne definieren was man will.

Wir haben i^2 = -1 ja definiert. Haben wir aber auch definiert, dass zum Beispiel i*2 = 2*i gilt? Ich denke schon dass man diese Eigenschaft für komplexe Zahlen definieren muss, und nicht beweisen kann. Mir kommt auch vor, dass wir i konkret als Zahl, und nicht als anderes mathematisches Objekt definiert haben. Würde man zum Beispiel i als Linie in einer "anderen Dimension" definieren, müsste man ja auch definieren was Multiplikation mit diesen Linien überhaupt bedeutet. Mir kommt auch vor, man musste die Multiplikation mit i doch wohl auch irgendwo definieren, denn es ist ja nicht mehr wirklich eine Quantität, wie wir sie im Alltag kennen. Könnte ich jetzt auch definieren, dass ein rechtwinkliges Dreieck nicht den Regeln von Pythagoras folgt? Sind meine obigen Gedanken zum Thema komplexe Zahl i noch richtig oder nicht mehr. Und wo liegt eigentlich die genaue Grenze zwischen Logik und einfach nur purem definieren? Kann man z.B definieren, dass aus Situation A immer Situation B folgt, und aus Situation B immer Situation C folgt, aber aus Situation A nie Situation C folgt? Das wäre unlogisch, aber könnte man es theoretisch so defineren, axiome anders definieren? Und ist das Beweisen dann nur ein "mal schauen was genau passiert" wenn man die definierten Regeln auf eine konkrete Situation anwendet?

Answer 1

"Wir haben i² = -1 ja definiert."

Das glaube ich nicht. Ich denke vielmehr, dass ihr eine Menge konstruiert habt,

die die Menge der reellen Zahlen umfasst, eine Multiplikation besitzt, die die

Multiplikation der reellen Zahlen fortsetzt und ein Element "\(i\)" enthält,

das unter dieser Multiplikation die Gleichung \(i^2=-1\) erfüllt.

Man Betrachte den reellen (Zeilen-)Vektorraum \(\mathbb{R}^2\).

In diesem definiert man eine kommutative Multiplikation:

\((x_1,\;y_1)\cdot(x_2,\;y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,\;x_1y_2+x_2y_1)\).

Die reellen Zahlen identifiziert man mit den Paaren \((x,0)\).

Man hat dann \((a,b)=a(1,0)+b(0,1)\) und es gilt \((0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)\).

\((0,1)\) nennen wir \(i\). Dann hat jedes Paar die Gestalt

\(a(1,0)+bi=a+bi\), wenn man \((1,0)\) mit der reellen \(1\) identifiziert.

Answer 2

Haben wir aber auch definiert, dass zum Beispiel i*2 = 2*i gilt? Ich denke schon dass man diese Eigenschaft für komplexe Zahlen definieren muss,

Nein, das muss man nicht. Es gibt eine Definition, wie man komplexe Zahlen multipliziert.

Das genügt, denn nach dieser Definition ergibt sich, dass auch im Komplexen a*b=b*a gilt