Berechne eine Polynomfunktion mit genügend Freiheitsgraden, sodass Übergang stetig und krümmungsstetig ist. (Straßenbau)

Question

Aufgabe Straßenbau:

Zwischen zwei Straßen soll eine Verbindung hergestellt werden.

Berechne eine Polynomfunktion mit genügend Freiheitsgraden, sodass der Übergang stetig, tangentenstetig und krümmungsstetig ist.

Alle Maße sind aus der Zeichnung zu entnehmen. Der orange Teil ist für Bsp. 2.

Answer 1

Am Ende von Straße 1

f(0) = 100
f'(0) = 0
f''(0) = 0

Am Anfang von Straße 2

f(200) = 0
f'(200) = 1
f''(200) = 0

Ich brauche bei 6 Bedingungen eine Gleichung 5. Grades

f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + g
f'(x) = 5·a·x^4 + 4·b·x^3 + 3·c·x^2 + 2·d·x + e
f''(x) = 20·a·x^3 + 12·b·x^2 + 6·c·x + 2·d

Ich setzte die obigen Bedingungen um in ein Gleichungssystem

g = 100
e = 0
2·d = 0
320000000000·a + 1600000000·b + 8000000·c + 100 = 0
8000000000·a + 32000000·b + 120000·c = 1
160000000·a + 480000·b + 1200·c = 0

Wir lösen das LGS und erhalten die Lösung

a = -3/800000000 ∧ b = 29/16000000 ∧ c = -9/40000 ∧ d = 0 ∧ e = 0 ∧ g = 100
a = -3.75·10^-9 ∧ b = 1.8125·10^{-6} ∧ c = -2.25·10^-4 ∧ d = 0 ∧ e = 0 ∧ g = 100

f(x) = -3/800000000·x^5 + 29/16000000·x^4 - 9/40000·x^3 + 100

Skizze:

Comments

wie kommst du oben drauf, dass f ' (200) = 1 ist ?

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Weil die Steigung dort 1 ist. Geht mann 100 m nach rechts und 100 m nach oben dann landet man wieder auf dem Graphen. Daher ist die Steigung 100/100 = 1.