Extremwertaufgabe / Haupt-Nebenbedigung

Question

Gestern Abi-Klausur geschrieben. Wollte mal nachfragen ob das richtig sein könnte

Eine Flache bestehen aus einem Rechteck mit aufgesetzem Halbkreis soll einen minimalen Umfang haben. Die Fläche beträgt 4m².

Hauptbedigung:
Umfang = (PI*b)/2 + 2a + b

Nebenbedingung:
Fläche = a * b + (PI * (b/2)^2) / 2

Kann mir jemand die Lösung dazu geben.
Ich hätte in der Arbeit etwa so was raus:
a= 1,5
b = 1,7
Bin mir aber nicht mehr sicher

Answer 1

Nebenbedingung:

A = 2·h·r + pi/2·r^2 = 4
h = (8 - pi·r^2)/(4·r)

Hauptbedingung

U = 2·h + r·(pi + 2)
U = 2·((8 - pi·r^2)/(4·r)) + r·(pi + 2)
U = (r^2·(pi + 4) + 8)/(2·r)

U' = (r^2·(pi + 4) - 8)/(2·r^2) = 0
r = 2·√2/√(pi + 4) = 1.058394211

h = (8 - pi·r^2)/(4·r)
h = (8 - pi·(2·√2/√(pi + 4))^2)/(4·(2·√2/√(pi + 4)))
h = 2·√2/√(pi + 4)

Damit muss der Radius des Halbkreises gleich der Höhe des Rechtecks sein. Das klingt auch plausibel.