Beziehung überprüfen. Partielle Ableitungen alpha = 1/V (dV/dT)_(P) usw,

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

 

alpha = beta * kappa

Beweisen Sie, dass die obere Beziehung dieser drei Variablen generell gilt, nicht nur für ideale Gase. Behalten Sie dafür die partiellen Ableitungsgleichungen. 

Wie mache ich das? Die Teilaufgabe vorher war, ich sollte es beweisen in Annahme, dass es sich um ein ideales Gas handelt, was ich durch umformen/ableiten der idealen Gasgleichung geschafft habe zu zeigen. Aber wie beweise ich, dass diese Beziehung immer gilt?

Answer 1

Es gilt ja allgemein:
$${ \begin{pmatrix} \partial T \\ \partial V \end{pmatrix} }_{ p }{ \begin{pmatrix} \partial V \\ \partial p \end{pmatrix} }_{ T }{ \begin{pmatrix} \partial p \\ \partial T \end{pmatrix} }_{ V }=-1$$

und wenn du ein bisschen umstellst

$$\cfrac { 1 }{ { \begin{pmatrix} \partial V \\ \partial T \end{pmatrix} }_{ p } } { \begin{pmatrix} \partial V \\ \partial p \end{pmatrix} }_{ T }{ \begin{pmatrix} \partial p \\ \partial T \end{pmatrix} }_{ V }=-1$$

$${ \begin{pmatrix} \partial V \\ \partial p \end{pmatrix} }_{ T }{ \begin{pmatrix} \partial p \\ \partial T \end{pmatrix} }_{ V }=-{ \begin{pmatrix} \partial V \\ \partial T \end{pmatrix} }_{ p }$$

$$\cfrac { 1 }{ V } { \begin{pmatrix} \partial V \\ \partial p \end{pmatrix} }_{ T }{ \begin{pmatrix} \partial p \\ \partial T \end{pmatrix} }_{ V }=-\cfrac { 1 }{ V } { \begin{pmatrix} \partial V \\ \partial T \end{pmatrix} }_{ p }$$

Noch auf beiden Seiten *(-1) und du solltest deine Beziehung sehen können.

PS: bitte berücksichtige, dass überall Bruchstriche stehen sollten in den Klammern, kleiner Fehler.