Seien X,Y Mengen. Wann gilt X x Y = Y x X? Stimmt meine Erklärung?

Question

Angabe: Seien X,Y Mengen. Wann gilt X x Y = Y x X?

Meine Antwort: Dieser Sachverhalt gilt genau dann wenn x=y ist. Also wenn X⊆Y und Y⊆X ist. Für alle x∈X gilt somit x∈Y und für alle y∈Y gilt y∈X.

Wenn X x Y = Y x X gilt, dann gilt auch X ⊆ Y und Y ⊆ X. Wenn alle Element von X in Y vorkommen und umgekehrt, müssen die Elemente des Inhalts identisch sein. Wenn also die Elemente identisch sind, ist das Kartesische Produkt für X x Y als auch für Y x X gleich, da dann die Anordnung der einzelnen Elemente Im Paar keine Rolle mehr spielt, da die Elemente  ja gleich sind.

Ist das richtig? ausreichend? verständlich ?

Comments

Antwort scheint logisch.

Aber schreibe: "Dieser Sachverhalt gilt genau dann wenn X=Y ist."

Answer 1

Ich meine, dass es schon ganz OK ist, wenn du Lu's Kommentar berücksichtigst.

Comments

Lu und mathef haben da wohl etwas übersehen.

Insbesondere müsste deutlich gemacht werden, dass die Zeile  " Wenn X x Y = Y x X gilt, dann gilt auch X ⊆ Y und Y ⊆ X. "  keineswegs eine Tatsache ausdrückt sondern einen Teil der erst noch zu beweisenden (der Beweis fehlt übrigens) Behauptung darstellt.

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Nach genauerem Nachdenken kommen mir auch ein

paar Zweifel: 

Seien X und Y Mengen und  XxY = YxX

1. Fall  X = {}. Dann ist XxY = { (a|b) | a ∈ X ∧ b ∈ Y } = {}

Also auch  YxX = {}   Aber es könnte durchaus Y ≠ { } sein.

Also ist das mit dem X=Y wohl schon mal nicht nötig, wenn

eine von beiden leer ist.

2. Fall  beide nicht leer.   Sei nun z aus X .

Dann ist XxY = { (a|b) | a ∈ X ∧ b ∈ Y }

Da Y nicht leer, gibt es ein b aus Y mit (z|b) aus XxY.

Da XxY = YxX ist also auch (z|b) aus YxY und

damit z aus Y.

Also  X ⊆ Y.

Sei umgekehrt  z aus Y dann gibt es ( da X nicht leer ein a aus X

mit (a|z) aus XxY ..............etc.  folgt auch hier z aus X

und damit X = Y.

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Na bitte  -  geht doch

Streng genommen fehlt jetzt noch die - zugegebenermaßen triviale - Umkehrung.

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Hallo danke mal für die Antworten.

@mathef : Du hast hier sozusagen den vollständigen Beweis angeführt nicht wahr? Also ich verstehe Fall 1, jedoch warum schreibt man (aIb) und nicht (a,b) ?

Fall 2 verstehe ich leider  noch nicht ganz. Ab hier mit der Variablen z:

Da Y nicht leer, gibt es ein b aus Y mit (z|b) aus XxY.

Da XxY = YxX ist also auch (z|b) aus YxY und

damit z aus Y.

Also  X ⊆ Y.

Sei umgekehrt  z aus Y dann gibt es ( da X nicht leer ein a aus X

mit (a|z) aus XxY ..............etc.  folgt auch hier z aus X

und damit X = Y. 

Hat da wer Geduld mit mir?

Ich Bitte euch ganz herzlich darum! 

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Schreibweise (a,b) oder (a|b) ist Geschmackssache.

Du musst doch aus

Sei z aus X

irgendwie herleiten

Dann ist z auch in Y.

Dann hast du   " X ist Teilmenge von Y" bewiesen.

Und das geht eben nur, wenn die andere Menge nicht leer ist,

denn nur dann gibt es in XxY überhaupt nur ein Paar mit

der ersten Komponente z.

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aber z.B: (zIb) sagt mir, dass die erste Komponente, also z, von der ersten Menge also X entspringt und ich Sie nur deshalb z nenne weil ich nicht weiß was für eine zahl es ist oder? also ist z eine andere Bezeichnung für ein bestimmtes a oder??