Frage zur Mengenlehre - #P(A), #P(B) im Verhältnis.

Question

Zwei endliche Mengen A und B sind gegeben, wobei: B = A ∪ {x} fur ein x mit x ∉  A.

 In welchem Verhaltnis steht dann #P(B) zur #P(A)? 

Meine Frage wäre nun die nach der Lösung, ist #P(B) nicht immer > #P(A)? Was ist im Falle von x = 0?

Comments

was verstehst du unter #P(A) ?

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Das ist die Fragestellung?
Ich nehme an #P(A) ist die Anzahl der Mengen innerhalb des Produktes von A?

Nimm einfach die Fragenstellung der Aufgabe, unabhängig von meiner.
Ich will nur wissen wie sie zueinander im Verhältnis stehen und warum sie das tun.

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Bekanntlich gilt ja \(\#P(M)=2^{\#M}\). Damit kannst Du Dein gesuchtes Verhaeltnis ausrechnen.

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Nach viel grübeln bin ich sogar selbst drauf gekommen! :)
Vielen herzlichen Dank für die Antwort! :)

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EDIT: Du hast es hier mit dem Mächtigkeiten von Potenzmengen zu tun.

Habe diese Tags ergänzt. Zudem kannst du so einfacher z.B. auch in Wikipedia noch nachsehen.

Answer 1

für n=#A wäre dann  #B = n+1

und #P(A)=2^n und #P(B)=2ⁿ⁺¹  

Also Verhältnis = 2 ⁿ⁺¹ / 2 ⁿ = 2

Answer 2

Das neue Element x kann in einer Teilmenge von B drinn sein oder nicht.

P(B) enthält alle Teilmengen von A jeweils mit und ohne das zusätzliche x.

Daher ist die Mächtigkeit von P(B) doppelt so gross wie die Mächtigkeit von P(A).

|P(A)| / | P(B)| = 1 / 2