Gesucht ist die relative Lage von g und h.

Question

wir haben heute ein neues Thema angefangen und sollen am Donnerstag schon einen Test darüber schreiben. Leider verstehe ich es nicht nicht ganz. Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen und bedanke mich schon im voraus.

Gesucht ist die relative Lage von g und h:

a) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r}{2} \\ {1} \\ {-3}\end{array}\right), h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}{-2} \\ {-2} \\ {7} \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}{-2} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right) \)

b) \({\mathrm{g}}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r}{1} \\ {-2} \\ {2}\end{array}\right), h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}{-1} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}{-2} \\ {4} \\ {-4}\end{array}\right) \)

c) \( \mathrm{g}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}{3} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{r}{1} \\ {1} \\ {-2}\end{array}\right), \mathrm{h}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}{0} \\ {2} \\ {0}\end{array}\right)+\mathrm{s}\left(\begin{array}{l}{2} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right) \)

d) \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{2} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}{2} \\ {1} \\ {-1}\end{array}\right), h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}{0} \\ {2} \\ {-4}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}{2} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right) \)

Answer 1

Bei zwei geraden gibt es 4 Möglichkeiten:

identisch:   Richtungsvektoren lin. abh. und Stützpunkt von g1 liegt auf g2

nicht identisch aber parallel : 

Richtungsvektoren lin. abh. und Stützpunkt von g1 liegt nicht auf g2

schneidend: Beim Gleichsetzen gibt es eine Lösung

windschief : Beim Gleichsetzen gibt es eine Lösung und

Richtungsvektoren sind lin. unabh.

Answer 2

Die Geraden sind...

• identisch
• echt parallel
• zwei sich schneidende Geraden
• windschief

Vorgehensweise

• Überprüfe, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden kollinear (= Vielfache voneinander) sind. Sind die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander, so sind die beiden Geraden entweder echt parallel oder identisch. Ansonsten schneiden sich die Geraden oder sie sind windschief.
• Fall 1 (die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander): Um herauszufinden, ob die Geraden echt parallel oder identisch sind, setzt man einen Punkt der einen Geraden in die Geradengleichung der anderen Geraden ein. Liegt der Punkt der einen Geraden auf der anderen Geraden, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind die Geraden echt parallel.
• Fall 2 (die Richtungsvektoren sind nicht Vielfache voneinander): Um herauszufinden, ob die Geraden sich schneiden oder windschief sind, versucht man, einen Schnittpunkt zu berechnen. Lässt sich ein Schnittpunkt berechnen, schneiden sich die Geraden. Andernfalls sind die Geraden windschief.