Faktorzerlegung eines Polynoms

Question

ich stocke gerade bei einer Aufgabe und weiss nicht wirklich weiter.

Es geht um die Faktorzerlegung eines Polynoms, und ich weiss nicht wie man auf folgende Lösung kommt.

x^4+x^3-x-1 lautet das Polynom. Nun, ich habe eine Nullstelle "erraten" und dann die Polynomdivision

durchgeführt, was mich auf (x^3+2x^2+1)(x-1) bringt. Weiter komme ich nicht, weil ich vom ersten Faktor

keine Nullstelle mehr erraten kann um einen weiteren Linearfaktor abzuspalten. Beim Plotten des ersten

Faktors sieht man auch, dass die Nullstelle ein krummer, negativer Wert ist. In den Lösungen steht aber ein

(x-1)(x+1)(x^2+x+1), und mir ist gerade schleierhaft wie man darauf kommt. Ich habe aber irgendwie das

Gefühl, ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Vielen Dank schon mal!

Comments

Ok, hat sich erledigt. Ich sehe gerade, ich hab mich bereits bei der Polynomdivision verhauen, jetzt hab ichs. Vielen Dank nochmal!

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Du hast dich bei der PD verrechnet.

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Ohne Polynomdivision geht es viel einfacher!

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Um wie soll das gehen ?

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Zum Beispiel so:
$$ x^4+x^3-x-1 = \\\,\\ \left(x^4-1\right)+\left(x^3-x\right) = \\\,\\ \left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)+x\left(x^2-1\right) = \\\,\\ \left(x^2+x+1\right)\left(x^2-1\right) = \\\,\\ \left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right). $$

Answer 1

Vermutlich hattest du nur einen Fehler in der Polinomdivision.

(x^4 + x^3 - x - 1) : (x - 1) = x^3 + 2·x^2 + 2·x + 1

(x^3 + 2·x^2 + 2·x + 1) : (x + 1) = x^2 + x + 1

Es ist daher

x^4 + x^3 - x - 1 = (x + 1)·(x - 1)·(x^2 + x + 1)