Polyom und 4. Binomische Form

Question

Hallo. Können Sie Polynom z⁴+2z³+2z²+2z+1 ohne die Verwendung der Polynomdivision schreiben? Hinweis: Verwenden Sie die 4. Binomische Form (z+1)⁴ = z⁴+4z³+6z²+4z+1. In diesem Fall man braucht keine Nullstelle zu wisen. MfG Vitalij

Answer 1

z^4 + 2·z^3 + 2·z^2 + 2·z + 1

= z^4 + 4·z^3 + 6·z^2 + 4·z + 1 - (2·z^3 + 4·z^2 + 2·z)

= (z + 1)^4 - (2·z·(z^2 + 2·z + 1))

= (z + 1)^4 - (2·z·(z + 1)^2)

= (z + 1)^2·((z + 1)^2 - 2·z)

= (z + 1)^2·(z^2 + 1)

Answer 2

Möglicher Ansatz:$$ z^4+2z^3+2z^2+2z+1 = \left(z+1\right)^4 - 2z^3-4z^2-2z = \dots $$