Integration binomische Formel: Unterschied der Stammfunktion bei Ausmultiplizieren oder Anwendung der Kettenregel

Question

Aufgabe:

Integration: Unterschied der Stammfunktion bei Ausmultiplizieren oder Anwendung der Kettenregel

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, folgendes Problem beschäftigt mich:

Die Funktion $$ \left(x+a\right)^2 $$ soll nach x integriert werden.

Dafür kann man im Prinzip zwei Wege nutzen, vorher Ausmultiplizieren und anschließend Integrieren oder gleich die Kettenregel anwenden, oder?

Mein Problem ist, dass ich auf zwei verschiedene Stammfunktionen komme mit den jeweiligen Wegen.

Dies bereitet mir Schwierigkeiten bei Aufgaben wie z.B. die Ermittlung einer Biegelinie.

Ausmultiplizieren und anschließend Integrieren ergibt: $$ \dfrac{x^3}{3}+ax^2+a^2x + C $$

Kettenregel ergibt: $$ \dfrac{\left(x+a\right)^3}{3} + C $$

Dies führt zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen. Habe ich hier einen Denkfehler?

Wird dies durch das Restglied C "abgefangen"?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Answer 1

Die Stammfunktionen unterscheiden sich nur in einer Konstanten. Du kannst ja durch Ableiten prüfen, ob die ursprüngliche Funktion heraus kommt. Es ist \((x+a)^3=x^3+3ax^2+3a^2x+a^3\). Dividierst du diesen Term jetzt durch 3, unterscheiden sich deine Funktionen nur in der Konstanten \(\frac{a^3}{3}\).

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Der "geringe" Unterschied einer Konstanten ist mir auch aufgefallen bei der Anwendung zur Berechnung einer Biegelinie.

Somit würde dies anhand des Restgliedes ausgeglichen werden.

Leider sorgt dies bei mir für Probleme, da anhand von Randbedingungen aus zwei zweimal integrierten Funktionen quasi mehrere Restglieder "C1 bis C4" ermittelt werden müssen.  

Die Abweichung im Endergebnis ist sehr gering aber ich komme mit der Anwendung des Ausmultiplizierens nicht auf das exakte Ergebnis der Lösung.

Wahrscheinlich muss ich den Dozenten explizit zu der Aufgabe fragen.

---

Normalerweise solltest du anhand der Randbedingungen die Konstante \(C\) ermitteln können. Kommst du denn bei der anderen Variante auf die richtige Lösung?

---

Ja, mit der anderen Variante, Kettenregel, komme ich auf die richtige Lösung.

Das Problem ist, dass die Konstanten C wie oben bereits erwähnt unterschiedliche Werte annehmen je nach Variante. Verwende ich diese Konstante dann weiter zur Ermittlung der anderen Konstanten, ergibt sich das Problem.

Ich werde morgen nochmals beide Varianten durchrechnen und in Reinschrift bringen, es ist schon zu spät.

Vielen Dank nochmals! Sollte ich einen Fortschritt erzielen, teile ich diesen mit.

---

Gute, dann viel Erfolg. :)

---

Habe die Aufgabe nochmals in Ruhe nach einer Verschnaufpause gerechnet und komme nun mit beiden Varianten auf das gleiche Ergebnis.

Die Unterschiede in den Konstanten C heben sich in den weiteren Berechnungen auf.

Es war ein Schusselfehler meinerseits.

Zu bevorzugen ist die Variante mit der Kettenregel, da durch die geringere Anzahl an Summanden sich der Rechenaufwand erheblich verringert und somit auch die Fehlermöglichkeiten.

---

Das freut mich, dass nun doch alles geklappt hat. :)

Wünsche einen guten Rutsch!