Gleichung mit keiner Lösung

Question

Aufgabe:

$$\frac{x}{x-5}+\frac{1}{3}=\frac{-5}{5-x}$$

Problem/Ansatz:

Diese Gleichung soll gelöst werden, es gibt jedoch keine Lösung, da beim Ausrechnen nur x = 5 herauskommt und das ist nicht zulässig.

Beim Ausrechnen heißt es "Man muss zuerst aus der Gleichung von oben = -5/-(x-5) = 5/(x-5) machen und dann mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner mal nehmen, hier 3*(x-5).

Ich verstehe weder die Umstellung am Anfang noch verstehe ich warum man mit 3*(x-5) multipliziert.

Danke

Answer 1

$$\frac{x}{x - 5} + \frac{1}{3} = \frac{-5}{5 - x} \newline \text{Definitionsmenge: } \mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{ 5 \} \newline \frac{x}{x - 5} + \frac{1}{3} = \frac{5}{x - 5} \newline \text{Mit dem Hauptnenner multiplizieren} \newline \frac{3 \cdot x \cdot (x - 5)}{x - 5} + \frac{3 \cdot (x - 5)}{3} = \frac{5 \cdot 3 \cdot (x - 5)}{x - 5} \newline (3 \cdot x) + (x - 5) = 15 \newline 4 \cdot x - 5 = 15 \newline 4 \cdot x = 20 \newline x = 5 \newline \text{5 ist nicht in der Definitionsmenge und damit keine Lösung.}$$

Comments

Ich verstehe weder die Umstellung am Anfang

Du erweiterst den Bruch mit -1, damit du zweimal den gleichen Nenner hast und weil sich das schön mit dem Minus im Zähler aufhebt.

noch verstehe ich warum man mit 3*(x-5) multipliziert.

Du multiplizierst mit dem Hauptnenner, damit alle Brüche wegfallen und du nur noch eine Reguläre lineare Gleichung hast, wie du sie bereits aus der 8. Klasse kennst.

Bruchgleichungen, bei denen das x im Nenner steht, hattet ihr damals noch nicht.

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@ Mathecoach: Hast Du meinen Kommentar gelöscht?

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@ Mathecoach: Hast Du meinen Kommentar gelöscht?

Der musste vermutlich mit dran glauben. Aber ich würde dir recht geben, dass man Fragesteller auf ihre Fehler hinweisen sollte.

Allerdings nicht in einer ironischen Form!

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Mit einer gelöschten Antwort versterben auch die dafür vergebenen Pluspunkte.

Gibt es eine technische Möglichkeit, den vom Mathecoach gelöschten Antworten wenigstens posthum noch gültige Pluspunkte zu vergeben?

(Notiz an mich: Kommentartext lokal abspeichern.)

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Warum sollten schlechte Antworten Punkte bekommen?

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Warum sollten schlechte Antworten Punkte bekommen?

döschwo hat dem Fragesteller vor Augen geführt, wie seine Fragestellung zu interpretieren ist, wenn man seinen Formeltext wörtlich nimmt. Ich weiß nicht, was daran schlecht sein soll.

Ich habe es hier schon dutzendfach erlebt, dass auf "In deiner Formel fehlen sicher Klammern" entrüstet geantwortet wurde, dass man die Formel "genau wie im Original" wiedergegeben hätte. Da muss man die beratungsresistenten Fragesteller schon mit der Realität konfrontieren.

Es ist ein grundlegender Irrtum, vom Mathecoach gelöschte Antworten mit "schlechten Antworten" gleichzusetzen. Der größte Mist bleibt hier unbehelligt, aber wehe, wenn man die Dreistigkeit hat, ...

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döschwo hat dem Fragesteller vor Augen geführt, wie seine Fragestellung zu interpretieren ist, wenn man seinen Formeltext wörtlich nimmt. Ich weiß nicht, was daran schlecht sein soll.

Schlecht ist daran, dass man die gesamte Frage wieder nicht im Kontext betrachtet. Tut man das nämlich, dann kann man an der Gleichung NICHTS falsch interpretieren. Und der liebe döschwo fuscht doch sonst auch so gerne in den Fragen der Leute herum, warum denn hier nicht?

Da muss man die beratungsresistenten Fragesteller schon mit der Realität konfrontieren.

Es ist den meisten Leuten nun einmal nicht klar, wann und wie Klammern zu setzen sind, wenn man Formeln tippt. Die erfahrenen Helfer sollten aber in aller Regel wissen, welche Variante die sinnvollere ist. Ansonsten muss da eben nachgehakt werden. Für derartige Nachfragen nutzt man allerdings die Kommentare und nicht die Antworten a la "es könnte ja so gemeint sein", was es in diesem Fall eben NICHT ist. Man kann also den Fragesteller darauf hinweisen, dass er seine Formel falsch eingetippt hat. Dafür muss man aber keine falsche Antwort aufgrund einer falschen Eingabe liefern.

Es ist ein grundlegender Irrtum, vom Mathecoach gelöschte Antworten mit "schlechten Antworten" gleichzusetzen. Der größte Mist bleibt hier unbehelligt, aber wehe, wenn man die Dreistigkeit hat, ...

Eine Antwort, die nicht zur Frage passt, ist aus meiner Sicht sehr wohl eine schlechte Antwort. Wer die Antwort letztendlich gelöscht hat, hat auch gar keine Relevanz. Keine Ahnung, warum du hier pauschalisierst. Und wenn man den größten Mist hier unkommentiert lässt, wird wohl auch kaum jemand dagegen etwas tun. Ich bin nach wie vor der Meinung, dass es eine Möglichkeit geben sollte, Antworten entsprechend negativ zu bewerten.

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Danke für die Erklärung, einzige Frage: Warum kann man im 1. und 3. Bruch später kürzen obwohl wir subtrahieren? Liegt es daran, dass der Ausdruck unter dem Bruchstrich genau so über dem Bruchstrich steht?

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Genau. Die Differenz tritt als Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner auf. Kürzen bedeutet Zähler und Nenner durch den gleichen Wert teilen. In diesem Fall ist der gleiche Wert die Differenz.

Answer 2

Wir haben also die Gleichung

\(\frac{x}{x-5}+\frac{1}{3}=\frac{-5}{5-x}\).

Zuerst bemerken wir, dass \(5-x=-(x-5)\), so dass wir die rechte Seite einmal mit \(-1\) erweitern (oder kürzen) und \(\frac{5}{x-5}\) erhalten, also insgesamt

\(\frac{x}{x-5}+\frac{1}{3}=\frac{5}{x-5}\).

Jetzt kann man die rechte Seite durch Subtraktion auf die linke Seite bekommen und man erhält

\(\frac{x}{x-5}-\frac{5}{x-5}+\frac{1}{3}=0\).

Jetzt sollte man eigentlich schon sehen, dass die Gleichung tatsächlich keine Lösung hat und man sich jede Form von Multiplikation sparen kann, denn die ersten beiden Brüche ergeben 1 und in der Gleichung kommt kein \(x\) mehr vor.

Allgemein multipliziert man mit dem gemeinsamen Nenner aller Brüche, um sämtliche Brüche innerhalb einer Gleichung aufzulösen. Der gemeinsame Nenner wäre hier \(3(x-5)\). Diese Multiplikation ist aber hier nicht notwendig, da sich die Brüche mit der Unbekannten bereits ohne Multiplikation auflösen und dann sofort ein Widerspruch dort steht.

Answer 3

x/(x-5) +1/3 = 5/(x-5)

x/(x-5) -5/(x-5) = -1/3

(x-5)/(x-5) = -1/3

1= -1/3  falsche Aussage -> Es gibt keine Lösung, L= {}

Comments

Wieder frage ich mich, welchen Sinn es macht, die Lösung von Apfelmännchen zu kopieren?

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a) Cui nocet?

b) Ich habe es komprimiert und ausführlich bis zum Ende formal vollständig aufgeschrieben, so wie ich das Gleichunglösen und Aufschreiben gelernt habe.

c) Kopiert habe ich sichtbar nichts.

d) Warum mokierst du dich wegen sowas auf? Der Mathecoach macht es oft ähnlich und es macht dabei Sinn. (Fast) doppelt gemoppelt hält bekanntlich besser.

e) Sei froh, wenn du dich nur so etwas fragen musst, so wie ich es bin, wenn ich nur wegen so etwas angemahnt werden muss. Ich gehe davon aus, dass auch du Lehrer:in.

Trotzdem einen guten Rutsch!

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Danke und ebenfalls guten Rutsch.