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Aufgabe:

Stammfunktion der Funktion f(x) = x cos(x2) bestimmen und alle Rechenschritte nachvollziehbar angeben


Problem/Ansatz:

Die Lösung sagt: F(x) = \( \frac{1}{2} \) * sin(x2) + C

Ich komme jedoch auf x * sin(x2) - sin(x2)

Könntet ihr mir bitte sagen, welcher Schritt noch fehlt?

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welchen Schritt ich falsch gemacht habe

Dazu müssten wir die Schritte sehen.

welchen Schritt ich falsch gemacht habe

Du hast geglaubt, dass [sin (x^2)]' = cos (x^2) wäre. Tatsächlich ist aber [sin (x^2)]'  = cos (x^2) * 2x, weil man die innere Ableitung berücksichtigen muss. Partielle Integration ist hier deshalb nicht die Methode der Wahl.

@Oswald: Habe die Frage umformuliert, danke

@Gast hj2166: Vielen Dank!

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Partielle Integration würde ich hier nicht empfehlen, denn:$$F(x)=\int x\cdot\cos(x^2)=\frac12\int 2x\cdot\cos(x^2)\,dx$$Die Ableitung der inneren Funktion \(x^2\) ist gleich \(2x\) und dieser Faktor taucht auch im Integranden auf. Das schreit ganz laut nach Substituion:$$u\coloneqq x^2\implies \frac{du}{dx}=2x\implies dx=\frac{du}{2x}$$Damit wird die Stammfunktion:$$F(x)=\frac12\int 2x\cdot\cos(x^2)\,dx=\frac12\int 2x\cdot\cos(u)\,\frac{du}{2x}=\frac12\int\cos(u)\,du$$$$\phantom{F(x)}=\frac12\sin(u)+C=\frac12\sin(x^2)+C$$

Wegen \(\frac{d(x^2)}{dx}=2x\) bzw. \(d(x^2)=2x\,dx\) kannst du auch kürzer schreiben:$$F(x)=\frac12\int\cos(x^2)\,2x\,dx=\frac12\int\cos(x^2)\,d(x^2)=\frac12\sin(x^2)+C$$Aber diese einfache Schreibweise wird heute wohl nicht mehr unterrichtet.

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Stammfunktion der Funktion f(x) = x cos(x2) bestimmen

Verwende Integration durch Substitution: u = x2.

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