Aloha :)
Partielle Integration würde ich hier nicht empfehlen, denn:$$F(x)=\int x\cdot\cos(x^2)=\frac12\int 2x\cdot\cos(x^2)\,dx$$Die Ableitung der inneren Funktion \(x^2\) ist gleich \(2x\) und dieser Faktor taucht auch im Integranden auf. Das schreit ganz laut nach Substituion:$$u\coloneqq x^2\implies \frac{du}{dx}=2x\implies dx=\frac{du}{2x}$$Damit wird die Stammfunktion:$$F(x)=\frac12\int 2x\cdot\cos(x^2)\,dx=\frac12\int 2x\cdot\cos(u)\,\frac{du}{2x}=\frac12\int\cos(u)\,du$$$$\phantom{F(x)}=\frac12\sin(u)+C=\frac12\sin(x^2)+C$$
Wegen \(\frac{d(x^2)}{dx}=2x\) bzw. \(d(x^2)=2x\,dx\) kannst du auch kürzer schreiben:$$F(x)=\frac12\int\cos(x^2)\,2x\,dx=\frac12\int\cos(x^2)\,d(x^2)=\frac12\sin(x^2)+C$$Aber diese einfache Schreibweise wird heute wohl nicht mehr unterrichtet.
