Wie kommt man hier auf die Stammfunktion? Müsste man hier nicht partielle Integration anwenden?

Question

Aufgabe:

Integral berechen

\(\displaystyle \int \limits_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\left[-\frac{1}{2} e^{-x^{2}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{2 e} \)

Problem/Ansatz:

Wie kommt mna hier auf die Stammfunktion.Müsste man hier nicht partielle Integration anwenden?

Answer 1

Vor \(e^{-x^2}\) steht als Faktor (fast) die innere Ableitung des Exponenten.

Würde da stehen

\(-2xe^{-x^2}\),

dann hätte man direkt die Ableitung von \(e^{-x^2}\), also ist \(e^{-x^2}\) die Stammfunktion von \(-2xe^{-x^2}\).

Partielle Ableitung würde nur dann etwas nützen, wenn du eine Stammfunktion von \(e^{-x^2}\) kennen würdest.

Wenn schon, dann müsstest du eine Integration mit der Substitution x²=z durchführen.

Answer 2

Du kannst Integration via Substitution anwenden, da \( \left(x^{2}\right)^{\prime}=2 x \) und somit

\(\begin{aligned} \int \limits_{1}^{\infty} x e^{-x^{2}} d x=\int \limits_{1}^{\infty} \frac{-2 x}{-2} e^{-x^{2}} d x=\int \limits_{1}^{\infty} \frac{\left(-x^{2}\right)^{\prime}}{-2} e^{-x^{2}} d x=\int \limits_{-1}^{-\infty}-\frac{e^{x}}{2} d x=\frac{1}{2 e}\end{aligned} \)