Wie kommt man hier auf die Stammfunktion,müsste hier nicht eigentlich partielle Integration verwendet werden?

Question

Aufgabe: Stammfunktion bestimmen

Problem/Ansatz: Wie kommt man hier auf die Stammfunktion,müsste hier nicht eigentlich partielle Integration verwendet werden ?

Text erkannt:

\( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2}(u) \cos u}{u} \cdot 2 u \mathrm{~d} u=\left[\frac{2 \sin ^{3} u}{3}\right]_{u=0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{3} \)

Answer 1

Hallo,

Kürze zuerst das u, dann bekommst Du

als Integrand 2 sin^2(u) cos(u) du

Substituiere z= sin(u)

dz/du= cos(u)

du= dz/cos(u)

eingesetzt in den Integranden und vereinfacht: (cos(u) kann gekürzt werden

=2 z^2 dz

=(2/3) z^3+C , Resubstitution z=sin(u)

=(2/3) sin^3(u) +C

Answer 2

Vereinfache

(sin²(u)·cos(u))/u * 2·u = (2·sin²(u)·cos(u))

Dann verwende Integration durch Substitution. Substituiere dazu z = sin(u)