Bestimmen Sie jeweils eine spezielle Lösung für die beiden folgenden Differentialgleichungen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils eine spezielle Lösung für die beiden folgenden Differentialgleichungen:

a) y´´ + y´ + y = x²

b) y´´ + 3y´ - 2y =e^2x

Answer 1

hallo,

zu a)

Ansatz y= e^(λx) , 2 Mal ableiten , in die DGL einsetzen

->Charakt. Gleichung:

λ^2 + λ +1=0

λ_1,2=  (-1/2) ±  i √3/2

\( yh(x)=C_{1} e^{-x / 2} \cos \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)+C_{2} e^{-x / 2} \sin \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right) \)

Ansatz part. Lösung:(oder auch spezielle Lösung genannt)

siehe hier:

https://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

yp=A +Bx+Cx^2,

2 Mal ableiten:

yp'= B+2Cx

yp''= 2C

in die DGL einsetzen:

y´´ + y´ + y = x^2

2C +B+2Cx+A +Bx+Cx^2 =x^2

Koeffizientenvergleich:

x^2 :                   C=1

x^1: 2C+B=0 → B=-2

x^0: 2C+B+A=0 ->A= 0

yp=x^2 -2x (spezielle Lösung)

y=yh+yp (allgemeine Lösung)

Aufgabe b funktioniert analog a