Beweis der Linearität eines Homomorphismus, der einen Homomorphismus zweier Basen in Matrixschreibweise darstellt.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4. \( (10+5+5+5=25 \) Punkte) Seien \( V \) und \( W \) endlichdimensionale \( K \)-Vektorräume mit \( n=\operatorname{dim} V, m=\operatorname{dim} W \), und \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \) eine Basis von \( V \) und \( \left\{w_{1}, \ldots, w_{m}\right\} \) eine Basis von \( W \). Setze
\( \Psi: \operatorname{Hom}(V, W) \rightarrow K^{m \times n}, \quad \varphi \mapsto A, \)
die einem Homomorphismus \( \varphi: V \rightarrow W \) seine Matrixdarstellung \( A \) in den angegebenen Basen zuordnet. Zeigen Sie:
(a) \( \Psi \) ist ein Homomorphismus.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

4a) Z für \( \psi: H \) Hom \( (V, w) \rightarrow K^{m \times n} \) ist \( \psi \) Homomorphismus
Damit \( \psi \) ein Homomolphismos ist moss folgendes gelten
Sei \( v_{t}, v_{x} \in \quad \varphi_{\text {mit }} \Lambda \leq t, x \leq m \quad, \lambda, \mu \in K \)
\( \lambda \cdot \psi\left(v_{t}\right)+\mu \psi\left(v_{x}\right)=\psi\left(\lambda \cdot v_{t}+\mu \cdot v_{x}\right) \)

ich habe die normalen Bedingungen für Linearität aufgestellt, jedoch komme ich ab diesem Punkt nicht mehr weiter. Kann mir eventuell jemand helfen?

Answer 1

Damit \( \psi \) ein Homomolphismos ist muss folgendes gelten

Für alle Homomorphismen f, g ∈ Hom(V,W) und a,b ∈K muss gelten

\( \psi (af+bg) = a\psi(f) + b\psi(g) \).

Also musst du überlegen: Was unterscheidet die Matrix von f von der von af ?

Dann müssen alle Matrixelemente mit a multipliziert werden und wenn

A die Matrix von f ist, dann ist aA die Matrix von af.

Entsprechend ist es auch bei der Summe: Die Matrix des

Summenhomomorphismus ist die Summe der einzelnen Matrizen.