0 Daumen
299 Aufrufe

Aufgabe:blob.png

Text erkannt:

4. (10+5+5+5=25 (10+5+5+5=25 Punkte) Seien V V und W W endlichdimensionale K K -Vektorräume mit n=dimV,m=dimW n=\operatorname{dim} V, m=\operatorname{dim} W , und {v1,,vn} \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} eine Basis von V V und {w1,,wm} \left\{w_{1}, \ldots, w_{m}\right\} eine Basis von W W . Setze
Ψ : Hom(V,W)Km×n,φA, \Psi: \operatorname{Hom}(V, W) \rightarrow K^{m \times n}, \quad \varphi \mapsto A,
die einem Homomorphismus φ : VW \varphi: V \rightarrow W seine Matrixdarstellung A A in den angegebenen Basen zuordnet. Zeigen Sie:
(a) Ψ \Psi ist ein Homomorphismus.


Problem/Ansatz:

blob.jpeg

Text erkannt:

4a) Z für ψ : H \psi: H Hom (V,w)Km×n (V, w) \rightarrow K^{m \times n} ist ψ \psi Homomorphismus
Damit ψ \psi ein Homomolphismos ist moss folgendes gelten
Sei vt,vxφmit Λt,xm,λ,μK v_{t}, v_{x} \in \quad \varphi_{\text {mit }} \Lambda \leq t, x \leq m \quad, \lambda, \mu \in K
λψ(vt)+μψ(vx)=ψ(λvt+μvx) \lambda \cdot \psi\left(v_{t}\right)+\mu \psi\left(v_{x}\right)=\psi\left(\lambda \cdot v_{t}+\mu \cdot v_{x}\right)

ich habe die normalen Bedingungen für Linearität aufgestellt, jedoch komme ich ab diesem Punkt nicht mehr weiter. Kann mir eventuell jemand helfen?

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Damit ψ \psi ein Homomolphismos ist muss folgendes gelten

Für alle Homomorphismen f, g ∈ Hom(V,W) und a,b ∈K muss gelten

ψ(af+bg)=aψ(f)+bψ(g) \psi (af+bg) = a\psi(f) + b\psi(g) .

Also musst du überlegen: Was unterscheidet die Matrix von f von der von af ?

Dann müssen alle Matrixelemente mit a multipliziert werden und wenn

A die Matrix von f ist, dann ist aA die Matrix von af.

Entsprechend ist es auch bei der Summe: Die Matrix des

Summenhomomorphismus ist die Summe der einzelnen Matrizen.

Avatar von 289 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage