Beweis der Bijektivität eines Homomorphismus, der einem Homomorphismus seine Matrixdarstellung zuordnet

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4. \( (10+5+5+5=25 \) Punkte) Seien \( V \) und \( W \) endlichdimensionale \( K \)-Vektorräume mit \( n=\operatorname{dim} V, m=\operatorname{dim} W \), und \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \) eine Basis von \( V \) und \( \left\{w_{1}, \ldots, w_{m}\right\} \) eine Basis von \( W \). Setze
\( \Psi: \operatorname{Hom}(V, W) \rightarrow K^{m \times n}, \quad \varphi \mapsto A, \)
die einem Homomorphismus \( \varphi: V \rightarrow W \) seine Matrixdarstellung \( A \) in den angegebenen Basen zuordnet. Zeigen Sie:
(b) \( \Psi \) ist injektiv, d. h. haben zwei Homomorphismen \( \varphi_{1}, \varphi_{2} \in \operatorname{Hom}(V, W) \) die gleiche Matrixdarstellung, so stimmen sie überein.
(c) \( \Psi \) ist surjektiv, d. h. zu jeder Matrix \( A \in K^{m \times n} \) existiert ein Homomorphismus \( \varphi: V \rightarrow W \) mit Matrixdarstellung \( A \).

Aus a ist bekannt, dass ψ ein Homomorphismus ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe grundlegend was bei b und c gefordert ist, komme aber nicht wirklich weiter und habe Schwierigkeiten es mathematisch sauber aufzuschreiben. Bei b hätte ich es mit einem Widerspruchsbeweis versucht (?). Wäre schön, wenn mir jemanden bei der Herangehensweise helfen könnte.

Answer 1

Schau mal dort

https://www.mathelounge.de/1056433/linearitat-homomorphismus-homomorphismus-matrixschreibweise

Answer 2

Es bezeichne

$$S:K^n \to V, \quad S(x):=\sum_{i=1}^nx_iv_i$$

die Koordinaten-Abbildung in V. Analog T für W. Beide sind als Koordinatenabbildung bijektiv. Damit hat der Homomorphismus \(\Psi\) folgende Darstellung:

$$\Psi(\phi)=T^{-1} \circ \phi \circ S$$

Man kann die Inverse leicht angeben:

$$\Psi^{-1}(A)=T \circ A \circ S^{-1}$$

Damit ist \(\Psi\) bijektiv.