Matrix eines Homomorphismus

Question

Sei \( \varphi: P_{4}(\Re) \rightarrow P_{4}(\Re) \) gegeben durch \( (\varphi(p))(x)=x p^{\prime}(x)+p(x) . \) Wir berechnen die Matrix dieser Abbildung bezüglich der geordneten Basen \( A=\left\{1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}\right\} \) und \( B=\left\{1, x, x^{2}-1, x^{3}-3 x, x^{4}-6 x^{2}+3\right\} \) von \( P_{4}(\Re) \).

Es gilt

\( \begin{array}{l} \varphi\left(x^{k}\right)=k x^{k}+x^{k}=(k+1) x^{k} \\ \varphi(1)=1 \\ \varphi(x)=2 x \\ \varphi\left(x^{2}\right)=3 x^{2}=3+3\left(x^{2}-1\right) \\ \varphi\left(x^{3}\right)=4 x^{3}=12 x+4\left(x^{3}-3 x\right) \\ \varphi\left(x^{4}\right)=5 x^{4}=15+30\left(x^{2}-1\right)+5\left(x^{4}-6 x^{2}+3\right) \end{array} \)

also folgt

\( M(\varphi)_{B}^{4}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 3 & 0 & 15 \\ 0 & 2 & 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 30 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right) \)

Ansatz/Problem:

Haben in der Vorlesung ein Beispiel gehabt, das ähnlich meiner Aufgabe ist, allerdings hab ich das Beispiel nicht verstanden. Vielleicht macht es mit mehr Verständnis bei meiner Aufgabe klick.

Answer 1

Du musst die Bilder jedes Basisvektors von A durch die Basis B darstellen.

also z.B.  für den 3. Basisvektor von A bildest du phi(x^2) das ist 3x^2
und jetzt versuchst du den durch die Baisivektoren von B darzustellen, das gibt
3*1 +0*x +3(x^2-1) +0* 4.Basisvektor + 0* 5. Bassivektor
und die roten Zahlen bilden dann die 3. Spalte der Matrix.

Ebenso mit den anderen Baisvektoren gibt es die Werte in den anderen Spalten.

Comments

Ich verstehe wie man auf die 3x^2 kommt, aber was ist mit 3+3(x^2-1) ?

Die Matrix müsste sich mir durch die Ergebnisse oben erschließen, tut es irgendwie noch nicht.

 Ich verstehs nicht so ganz, könntest du es vielleicht noch mal erklären ?

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Du musst ja das Ergebnis also die 3x^2 mit Hilfe der Basiselemente von B darstellen.

Da gibt es aber kein x^2 sondern nur x^2 -1 und wenn du das 3* nimmst, passt es nicht ganz, also musst du versuchen mit einem weiteren Basiselemnet die Sache pasen zu machen, hier mit +3*1

deshalb 3*1 + 3(x^2-1) und die anderen haben alle Nullen, weil man sie für die Darstellung von 3x^2 nicht braucht.

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Ah ok.

Also ist es im uneigentichen Sinne mehr so ein bisschen Bastelarbeit mit den Basen?

Noch eine Frage:

In meiner Aufgabe gehst vom P₄(R) in den P₆(R), also P₄(R) -> P₆(R). Ändert das etwas an der Vorgehensweise ?

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Da hast du ja bestimmt je eine Basis von P₄(R).und von P₆(R) vorgegeben.

Du musst also die 5 Basisvektoren von P₄(R) alle abbilden und jedes Bild

mit den Basisvektoren von P₆(R) darstellen. Das gibt dann eine Matrix mit

5 Spalten und 7 Zeilen.

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Ich denke ich hab das Beispiel einigermaßen verstanden, aber bei meiner Aufgabe klappt gar nichts. Ich glaube mein Problem ist die Darstellung.

Ich hab gegeben:  

P₄(R) -> P₆(R), (phi(p))(x)= (x-1)^3 * p'(x)

A₄ = {1, x, x^2, x^3, x^4} , A₆ = {1, x, x^2, x^3, x^4, x^5, x^6}

Hab dann folgendes raus:

phi (1) = 0

phi (x) = (x-1)^3

phi(x^2) = 2x*(x-1)^3

phi(x^3) = 3x^2*(x-1)^3

phi(x^4) ) 4x^3*(x-1)^3

Aber wie solls dann weiter gehen ?

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Dann besteht die erste Spalte schon mal aus 7 Nullen.

und für die anderen musst du halt ausrechnen, z.B.

phi(x^2) = 2x*(x-1)³  = 2x * ( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 )

           = 2x^4 - 6x^3 + 6x^2 - 2x 

Also ist die 3. Spalte  von oben nach unten 

0  -2   +6   -6   +2    0    0  

in dieser Reihenfolge, weil die entsprechenden

Basiselemente auch in dieser Reihenfolge da stehen.

                 

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Ah okay..also musste ich die Klammer auflösen. Hatte beide Varianten aufm Blatt stehen und wusste nicht was ich damit anfangen soll.

Dann sieht meine Matrix jetzt so aus:

0  -1  0  0  0

0  3  -2  0  0

0  -3  6  -3  0

0  1  -6  9  -4

0  0  2  -9  12

0  0  0   3   -12

0  0  0  0    4

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Gab noch einen zweiten Teil bei der Aufgabe:

B_n = {(x-1)^k | k= 0,..,n} für n=4 und n=6

Habe es so gemacht wie bei den beiden Basen A₄ und A₆. Bin dann auf folgende Matrix gekommen:

0   -1   2   -3   4

0   3   -2   3   -24

0   -3   4   -29   60

0   1   -6   30   -68

0   0   2   -15    48

0   0   0     3    -24

0   0   0     0      4

Könntest du vielleicht mal drüber gucken , ob es so richtig ist ? Das wäre nett von dir.

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Ich glaube, da ist noch was falsch,

du hast doch einmal die Basis

1  ,  x-1   (x-1)^2   x-1)^3  (x-1)^4

und dann  1  ,  x-1   (x-1)^2   (x-1)^3  (x-1)^4  (x-1)^5  (x-1)^6 

wenn du jetzt z.B. die zweite Spalte haben willst, musst du

phi( 2.Element der 1. Basis) bestimmen

das ist  phi( x-1) = (x-1)^3 * 1 = (x-1)^3 

und dieses Ergebnis durch die zweite Basis darstellen, gibt

0*1 + 0*(x-1) + 0*(x-1)^2 + 1* (x-1)^3 + 0*....

also in der 2. Spalte: 0,0,0,1,0,0,0

Ich glaube, du hast es mit der Basis {1, x, x², x³, x⁴, x⁵, x⁶}

dargestellt. Die ist aber im 2. Aufgabenteil wohl nicht mehr gültig.

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Hmm..ne habe eigentlich die B₆ Basis genommen, aber habe wohl was falsch gemacht. Habs noch mal versucht. Allerdings bin ich mir bei der dritten spalte nicht so sicher:

0   0   -2   0   0

0   0   2   0   0

0   0   0   3   0

0   1   1   0   0

0   0   2   0   4

0   0   0   0   0

0   0   0   0   0

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für die 3. Spalte brauchst du phi( (x-1)^2 ) = 2(x-1)*(-1)*(x-1)^3 = -2(x-1)^4

also 3. Spalte 0,0,0,0,-2,0,0

4. Spalte phi (  (x-1)^3 ) = 3(x-1)^2*(-1)(x-1)^3 = -3(x-1)^5

also 4. Spalte 0,0,0,0,0,-3,0

und bei der 5. entsprechend 0,0,0,0,0,0,-4

Außerdem hatte ich bei meinem letzten Kommentar

den Faktor -1 bei der Ableitung (wegen Kettenregel) vergessen.

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Neuer Tag, neues Glück:

Habe die dritte Spalte erneut ausgerechnet, komme aber auf eine +2(x-1)^4

phi((x-1)^2) = (x-1)^3 * 2(x-1) | (x-1)^2 mit Kettenregel: 2 * (x-1) *1

genauso bei den anderen Aufgaben (habe die selben Ergebnisse wie du, aber postitv) , wo kommt dann die (-1) als Faktor her  ?

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Quatsch, ich hatte an (1-x)^2 gedacht und nicht an (x-1)^2
Du hast recht.

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Ok, dann hab ichs denke ich verstanden.

Mathef ich danke dir für deine Hilfe und deine Geduld :) !