Aufgabe zur Funktionenreihe: Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe

Question

Ich kann die folgender Aufgabe nicht lösen:

∑(1+(1/n))^{n}^2 * x^n

Es soll der Konvergenzradius bestimmt werden, d.h. ρ= lim_n→∞{a_n/a_n+1}

Die Lösung soll laut Buch 1/e sein. Ich komme jedoch auf einen Radius von 0. 
Das Problem ist das ich nicht mal in die Nähe von der  Lösung komme, da es mir nicht möglich ist soweit zu kürzen, dass man in Richtung e^1 komme.
Gibt es vielleicht einen einfachen Ansatz den ich übersehe?

Bis zu (n+2)/n*e^{2n} bin ich gekommen. Nach L`Hospital differenziert ergibt sich somit: 1/2n*e^{2n}+e^{2n} was ja dann bedeuten würde, dass der Radius 0 ist...

Danke für die Mühe. Weiß jmd. weiter?

Answer 1

Wieso benutzt du nicht einfach das Wurzelkriterium?

n-te Wurzel von : (1+(1/n))^{n^2}

=(1+(1/n))^{n^2 ^ (1/n)} =  (1+(1/n))ⁿ

Für n gegen unendlich Konvergiert diese Folge bekanntlich gegen e.

Konvergenzradius = 1/e

Fertig^.

ρ= lim_n→∞{a_n/a_n+1} kann man leider nicht immer anweden.

Comments

Hi Marvin,

ich denke der Fragensteller meinte eigentlich \( (1+\frac{1}{n})^{n^2} \).

Dann klappt das auch wie du vorschlägst mit dem Wurzelkriterium.

Gruß

---

Ob jetzt n^2 oder 2n im Nenner steht ist doch egal. Ist beides das selbe .

---

Da irrst du dich leider. Es ist ein großer Unterscheid ob \(n^2\) oder \(2n\) im Exponenten steht.

---

Oh schon okay. :D
Wenn man Klammern setzt,dann schon .