Homomorphismus -> Matrix zur Basis & Rang bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der Homomorphismus \( \phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) durch

\( \phi(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} x+y-z \\ x-y+z \\ x \end{array}\right) \)

(i) Bestimmen Sie die dazu gehörige Matrix zur Basis \( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right\} \).

(ii) Welchen Rang besitzt die Abbildung?

Problem/Ansatz:

Benötige Hilfe bei der Lösung des Problems, ich wäre euch sehr dankbar:)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Abbildung \(\phi\) ist bezüglich der Standardbasis \(S\) des \(\mathbb R^3\) definiert.

Du sollst nun eine Abbildungsmatrix \(A\) für diese Abbildungsvorschrift bestimmen, die für Vektoren bezüglich einer anderen Basis \(B\) gültig ist, wobei$$B=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!B},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!B},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!B}\right)=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!S},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!S},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}_{\!\!S}\right)$$

Dazu bestimmst du die Bilder der Basisvektoren von \(B\) und rechnest diese Bildvektoren wieder in die Basis \(B\) um:$$\phi\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}=\phi\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}_{\!\!S}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}+\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}_{\!\!S}=1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}+1\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!B}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!B}$$$$\phi\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}=\phi\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}+\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}=1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}-1\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}$$$$\phi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!B}=\phi\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}_{\!\!S}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}=0\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}+0\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}+0\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_{\!\!B}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!B}$$

Die gesuchte Abbildungsmatrix lautet daher:$$A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)$$

Sie enthält offensichtlich zwei linear unabhängige Spaltenvektoren, sodass die Abbildung den Rang \(2\) hat.

Answer 2

Hallo

die Spalten der gesuchten Matrix sind die Bilder der Basisvektoren, also die erste Spalte etwa (1,1,1) jetzt du die 2 nächsten , den Rang siehst du hoffentlich direkt, sonst kannst du ihn sicher aus der matrix bestimmen.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort. So ganz klar ist es mir allerdings doch noch nicht.
Aus dem Homomorphismus kann ich ja quasi die Matrix {(1,1,1),(1,-1,0),(-1,1,0)} ablesen. Jedoch ist mir nicht klar, wie ich diese dann mit den Basisvektoren zu verrechnen habe, um auf die "Ergebnismatrix" zu kommen...