Fibonacci Zahlen: Bestimmen Sie den Rang von A. Geben Sie eine Basis von Lös(A, 0) an.

Question

Aufgabe:

Die Fibonacci Zahlen sind definiert durch F₀= 0, F₁ = 1,
F_n+1 = F_n + F_n-1 für n ≥ 1. Sei A ∈ Mat(m × n, Q) definiert durch
A_ij := F_i + F_j, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Bestimmen Sie den Rang von A. Geben Sie eine Basis von Lös(A, 0) an.

Answer 1

Zeilenumformungen verändern ja den Rang nicht. Subtrahiere zuerst die erste Zeile von jeder anderen Zeile. Im Falle, dass A eine \( 3 \times 3 \) Matrix ist also
\( \begin{aligned} \left[\begin{array}{lll} F_{1}+F_{1} & F_{1}+F_{2} & F_{1}+F_{3} \\ F_{2}+F_{1} & F_{2}+F_{2} & F_{2}+F_{3} \\ F_{3}+F_{1} & F_{3}+F_{2} & F_{3}+F_{3} \end{array}\right]  \rightarrow&\left[\begin{array}{lll} F_{1}+F_{1} & F_{1}+F_{2} & F_{1}+F_{3} \\ F_{2}-F_{1} & F_{2}-F_{1} & F_{2}-F_{1} \\ F_{3}-F_{1} & F_{3}-F_{1} & F_{3}-F_{1} \end{array}\right] \\ \quad \stackrel{F_2=F_1}{=}&\left[\begin{array}{lll} F_{1}+F_{1} & F_{1}+F_{1} & F_{1}+F_{3} \\ F_{2}-F_{1} & F_{2}-F_{1} & F_{2}-F_{1} \\ F_{3}-F_{1} & F_{3}-F_{1} & F_{3}-F_{1} \end{array}\right] \end{aligned} \)
In dem obigen Fall gibt es also nur 2 unabängige Spalten, womit der Rang hier 2 wäre. Nun gilt aber für alle \( n>2 \) und \( m>2 \), dass \(\textbf{A}\) Rang 2 hat. Das kann man daran erkennen, dass die generische \( m \times n \) Matrix folgende Form nach der Transformation hat
\( \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc} F_{1}+F_{1} & F_{1}+F_{2} & \ldots & F_{1}+F_{n} \\ \mathbf{v} & \mathbf{v} & \ldots & \mathbf{v} \end{array}\right], \quad \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{m-1},(\mathbf{v})_{j}=F_{j}-F_{1} \)
Jetzt wählen wir zwei linear unabhängige Spaltenvektoren von \( \mathbf{A} \), also z.B. \( (\mathbf{A})_{:, 1} \) und \( (\mathbf{A})_{:, 3} \) und zeigen, dass das Hinzufügen irgendeines anderen Spaltenvektors von \(\textbf{A}\) die drei Vektoren linear abhängig macht. Wir sehen
\( a\left[\begin{array}{c} \alpha \\ \mathbf{v} \end{array}\right]+b\left[\begin{array}{l} \beta \\ \mathbf{v} \end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c} \gamma \\ \mathbf{v} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right] \)
ist ein unterbestimmtest Gleichungssystem, hat also insbesondere unendliche viele Lösungen (da \( a=b=c=0 \) eine Lösung ist). Daraus folgt die lineare Abhängigkeit und bedeutet, die Matrix hat genau Rang 2 . Für \( n=2 \) hat die Matrix Rang 1 (Spezialfall).