Zeige, dass die Gleichung eine positive Lösung besitzt

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die folgende Gleichung eine Lösung \( x_{0}>0 \) besitzt:
\( \frac{1}{1+x^{2}}=\sqrt{x} \)

Answer 1

Aloha :)

Da \(\frac{1}{1+x^2}\) und \(\sqrt x\) für \((x>0)\) stetig sind, ist auch die Funktion:$$f(x)\coloneqq\frac{1}{1+x^2}-\sqrt x$$für \((x>0)\) stetig. Zusätzlich gilt:$$f\left(\frac14\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{16}}-\frac12=\frac{16}{17}-\frac12>0\quad;\quad f(1)=\frac{1}{2}-1<0$$

Nach dem Zwischenwertsatz nimmt \(f(x)\) für \(x\in\left[\frac14\big|1\right]\) jeden Wert zwischen \(f(1)>0\) und \(f(\frac14)<0\) an. Daher gibt es ein \(x_0\in\left[\frac14\big|1\right]\) mit \(f(x_0)=0\) bzw.$$\frac{1}{1+x_0^2}=\sqrt{x_0}$$

Answer 2

Hallo

a für x0<0 ist das gar nicht definiert, x0=0 ist keine Lösung

dann 1/(1+x^2)- √x=f(x)

f(0)=1>0 f(1)=-1/2<0   f stetig also eine Nullstelle

lul

Answer 3

Ja, das ist so:

                                .

Answer 4

Zeichne die Graphen von \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\) und \(g(x) = \sqrt{x}\) in ein gemeinsamens Koordinatensystem ein.

Tipp. Dafür gibt es Computerprogramme.

Lese ein \(x_1 > 0\) ab, so dass \(f(x_1) > g(x_1)\) ist.

Lese ein \(x_2 > 0\) ab, so dass \(f(x_2) < g(x_2)\) ist.

Berechne \(f(x_1)\), \(f(x_2)\), \(g(x_1)\) und \(g(x_2)\).

Laut dem Zwischenwertsatz gibt es ein \(x_0 \in [x_1, x_2]\), so dass \(f(x_0) = g(x_0)\) ist.