Welche Fläche schließt der Graph von f(x):=2x*(1/8 x²-1,5x+4) mit der x-Achse ein?

Question

Graph f(x)=2x*(1/8 x²-1,5x+4), x ∈ [2,6]

Answer 1

Hi,

untersuchen von Schnittpunkten mit der x-Achse im zu untersuchenden Intervall:

2x*(1/8x²-1,5x+4)=0

x₁=0

pq-Formel:

x₂=4 und x₃=8

 

Die für uns interessante Nullstelle ist also x=4.

 

Nun erst mal noch ausmultiplizieren, damit man einfacher integrieren kann:

f(x)=1/4*x^3-3x^2+8x

 

Das wird nun von 2-4 und von 4-6 integriert.

|∫₂⁴1/4*x^3-3x^2+8x dx| + |∫₄⁶1/4*x^3-3x^2+8x dx|

=|[1/16x^4-x^3+4x^2]₂⁴| + |[1/16x^4-x^3+4x^2]₄⁶|

=7+|-7|=7+7=14

 

Es wird also eine Fläche von 14 FE eingeschlossen.

 

Grüße

Comments

Gerne ;)      .

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ich habe mal eine Frage zu deiner Rechnung:

|∫241/4*x3-3x2+8x dx| + |∫461/4*x3-3x2+8x dx|

=|[1/16x4-x3+4x2]24| + |[1/16x4-x3+4x2]46|

=7+|-7|=7+7=14

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Wenn ich für x jeweils 2 und 4 einsetzte bzw. 4 und 6 dann bekomme ich folgendes raus:

{ |[1+8-16]| + |[16+64-64]| } + { |[16+64-64]| + |[81+216-144]| }

= { |-7| + 16 } + { 16 + 153}

= { 23 } + {169}

= 192 FE

 

Könntest du das bitte mal genauer Erklären?

 

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HIch zeigs Dir mal für den ersten Summanden,

|[1/16x⁴-x³+4x²]₂⁴|=|1/16*4⁴-4³+4*4²-(1/16*2⁴-2³+4*2²)|=|16-(9)|=|7|=7

 

Du scheinst Dich da etwas verhaspelt zu haben. Außerdem kann ich nicht erkennen, dass Du die untere Grenze abziehst? ;)

 

Grüße

 

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Danke für die schnelle Antwort.

Ja ich habe die untere Grenze nicht abgezogen - warum? - naja, wusste ich nicht :)

 

Aber warum hast du dich entschieden die untere Grenze von der Oberen abzuziehen. Wir haben in der Schule gelernt, dass man zuerst die untere Grenze einfügt und dann die obere, was wiederum dann nach deiner Rechnung falsch wäre.

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Das solltest Du nochmals nachschlagen. Es gilt:

 

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)

 

;)

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Das habe ich auch grad nochmal:)

 

Den ersten Summanden habe ich erfolgreich berechnen können.

Jetzt zum Zweiten:

 

| 1/16 6⁴ + 6³ -4*6² - ( 1/16 4⁴ + 4³ - 4*4²) |

= | 81 + 216 - 144 - (-16 - 64 + 64) |    (Nach der Regel: Minus vor einer Klammer ändert alle Vorzeichen)

= | 153 - (-16) |

= | 169 |

= 169

 

Irgendwie stehe ich heute morgen auf dem Schlauch. 
Könntest du mir bitte auch die Lösung für den zweiten Summanden zeigen?

 

Danke

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Für den zweiten Summanden:

|[1/16x⁴-x³+4x²]₄⁶|=|1/16*6^4-6^3+4*6^2-(1/16*4^4-4^3+4*4^2)|=|9-(16)|=|-7|=7

 

Dein Problem lag wohl dieses mal nur daran, dass Du die Vorzeichen etwas durcheinander geworfen hast?!

| 1/16 6⁴ + 6³ -4*6² - ( 1/16 4⁴ + 4³ - 4*4²) |

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Danke für die Hilfe.

Alles verstanden :)

 

Oh, okay das mit den Vorzeichen lag daran, dass der, der die Frage hier gestellt hat, welcher auch in meiner Klasse ist, die Gleichung falsch geschrieben hat.

 

Sie lautet eigentlich f(x)=-2x*(1/8x²-1,5x+4) und nicht f(x)=2x*(1/8x²-1,5x+4)

 

Beim ausmultiplizieren haben sich bei mir die Vorzeichen geändert, so wie es eigentlich auch sein sollte.

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So, ich bin mir nicht sicher ob du die Änderung meines vorherigen Kommentares gelesen hast, aber ich habe die Aufgabe nochmals gerechnet:

 

f_(x)= -2x*(1/8 x² - 1,5x+4)

| ∫⁴₂ f_(x) *dx | + | ∫⁶₄ f_(x) *dx |

Ausmultipliziert: - 1/4 x³ + 3x² - 8x

 

Integriert: | [ 1/16 x⁴ +  x³ - 4x²]⁴₂ | + | [ 1/16 x⁴ +  x³ - 4x²]⁶₄ |

Wenn man nun die oberen und unteren Grenzen einfügt und die untere Grenze von der Oberen abzieht rechne ich folgendes:

 

| [ 16 + 64 - 64 -(1 + 8 -16)] | + | [ 81 + 216 - 144 -(16 + 64 - 64)] |  

(Dabei habe ich die Regel, falls es überhaupt eine ist, dass wenn ein Minus vor einer Klammer steht sich die Vorzeichen in der Klammer ändern, ignoriert.)

= | 16 -(-7) | + | 153 -(16) |

= 9 + 137

= 146 FE

Ich hoffe das stimmt jetzt mal und ich hoffe du kannst mir das bestätigen :)

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So mit vollem Magen zurück ;).

 

Das Vorzeichen spielt eigentlich keine Rolle. Das verdreht nur die Flächen. Welche zuvor oben waren, sind nun unter der x-Achse und andersrum^^. Du solltest also eigentlich auf das gleiche kommen.

 

Dein Fehler liegt wohl hier:

Integriert: | [ -1/16 x⁴ +  x³ - 4x²]⁴₂ | + | [ -1/16 x⁴ +  x³ - 4x²]⁶₄ |

 

Und das obwohl Du es in der Zeile drüber richtig gemacht hattest^^.

 

Einverstanden?

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So auch wieder zurück,

ja ich hab den Fehler grade bemerkt^^

 

Vielen Dank für die Mühe

Answer 2

Nun, Bei Flächenberechnungen immer erst die Nullstellen berechnen.

für f(x)=2x*(1/8x²-1,5x+4);   x ∈ [2|6]

haben wir ein Produkt, also 2x = 0 für x = 0

und 0 = 1/8x²-1,5x+4

bekommst du x = 8 und x = 4.

Da uns nur x ∈ [2|6] interessiert, interessiert nur x =4;

Das bedeutet, dass du für x ∈ [2|4] und x ∈ [4|6] mit dem Integral die Stellen einzeln ausrechnen solltest,

außer du hast bereits er eine ausführliche Analyse herausgefunden, dass x = 4 eine doppelte (vierfache, etc) Nullstelle ist (was sie übrigens nicht ist).

Das mit dem Integral solltest du alleine hinbekommen.