Standardaufgabe aus https://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Summe_%C3%BCber_Quadratzahlen
Lösungsweg
- Frage: Wie lautet der Induktionsanfang? Was ist die kleinste sinnvoll einsetzbare naturliche Zahl?
Der Induktionsanfang ist für \( n=1 \) zu führen. Die linke Seite der Summenformel ergibt:
$$ \sum \limits_{k=1}^{1} k^{2}=1^{2}=1 $$
Die rechte Seite der Formel ergibt:
$$ \frac{1 \cdot(1+1) \cdot(2 \cdot 1+1)}{6}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=\frac{6}{6}=1 $$
- Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und wie lautet die Induktionsbehauptung?
Induktionsvoraussetzung:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6} $$
Induktionsbehauptung:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} $$
- Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem du die Induktionsvoraussetzung eingesetzt hast?
Ausgehend von der Induktionsbehauptung erhältst du auf der linken Seite:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}\right)+(n+1)^{2} $$
\( \downarrow \) Induktionsvoraussetzung einsetzen
$$ =\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}+(n+1)^{2} $$
Damit lautet die zu beweisende Gleichung:
$$ \frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}+(n+1)^{2}=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} $$
- Aufgabe: Finde die notwendigen Termumformungen, um die linke in die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung zu überführen.
Die notwendigen Termumformungen sind:
$$ \begin{aligned} \frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}+(n+1)^{2} &=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)+6 \cdot(n+1)^{2}}{6} \\ &=\frac{(n+1) \cdot(n \cdot(2 n+1)+6 \cdot(n+1))}{6} \\ &=\frac{(n+1) \cdot\left(2 n^{2}+n+6 n+6\right)}{6} \\ &=\frac{(n+1) \cdot\left(2 n^{2}+3 n+4 n+6\right)}{6} \\ &=\frac{(n+1) \cdot(n \cdot(2 n+3)+2 \cdot(2 n+3))}{6} \\ &=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} \end{aligned} $$
Beweis
- Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \) bewiesen werden soll:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6} $$
1. Induktionsanfang:
$$ \sum \limits_{k=1}^{1} k^{2}=1^{2}=1=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=\frac{1 \cdot(1+1) \cdot(2 \cdot 1+1)}{6} $$
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6} $$
- 2b. Induktionsbehauptung:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} $$
- 2c. Beweis des Induktionsschritts:
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}\right)+(n+1)^{2} \)
\( \downarrow \) Induktionsvoraussetzung einsetzen
$$ \begin{array}{l} =\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}+(n+1)^{2} \\ =\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)+6 \cdot(n+1)^{2}}{6} \\ =\frac{(n+1) \cdot(n \cdot(2 n+1)+6 \cdot(n+1))}{6} \\ =\frac{(n+1) \cdot\left(2 n^{2}+n+6 n+6\right)}{6} \\ =\frac{(n+1) \cdot\left(2 n^{2}+3 n+4 n+6\right)}{6} \\ =\frac{(n+1) \cdot(n \cdot(2 n+3)+2 \cdot(2 n+3))}{6} \\ =\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} \end{array} $$