Vollständige Induktion. Summenformel Quadratzahlen.

Question

Aufgabe:

Summe über Quadratzahlen

Beweise, dass für \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \) gilt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6} \)

bzw. \( \forall \,n \in \mathbb{N} ; n>0 \)

Comments

Du kannst das Summenzeichen auch weglassen und https://www.mathelounge.de/91695/vollstandige-induktion-1%C2%B2-2%C2%B2-3%C2%B2-n%C2%B2-n-n-1-2n-1-6 zeigen.

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Vom Duplikat:

Titel: Mit vollständiger Induktion Summenformel für Quadratzahlen beweisen

Stichworte: summe,quadratzahlen,induktion,vollständige-induktion,beweis

Aufgabe:

Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion

Ansatz:

a) \( 1^{2}+3^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\frac{n \cdot(2 n-1) \cdot(2 n+1)}{3} \)
für alle natürlichen Zahlen \( n \).
b) \( 3 \cdot 3 !+4 \cdot 4 !+\cdots+n \cdot n !=(n+1) !-6 \)
für alle natürlichen Zahlen \( \mathrm{n} \geq 3 \).

Leider komme ich auch hier nicht wirklich voran.

Es würde mir ziemlich weiterhelfen, wenn ich hier auch einmal die komplette Rechnung inkl. Erklärungen erhalten könnte, um mir diese dann zu verinnerlichen und damit dann weiter üben zu können.

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Vom Duplikat:

Titel: Wie führe ich vollständige Induktion durch?

Stichworte: induktion,grenzwert,vollständige-induktion

Aufgabe:Gegeben ist dieser Ausdruck, welcher durch vollstänige Induktion bewiesen werden soll.

Problem/Ansatz:Die allgemeine Vorgehensweise ist mir wzar bekannt jedoch habe ich Probleme beim Induktionsschritt für n+1. Auf der rechten Seite habe ich für n+1 folgenden Ausdruck (Behauptung): \( \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \) , um dies zu beweisen müsste man doch dann auf der linken Seite für k² dann diesen Term aufstellen: \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) + (n+1)² . Könnt ihr mir weiterhelfen bitte.

a) \( 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)

Answer 1

Das sieht bei mir wie folgt aus:

Zu zeigen:

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)
Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)
1^2 = 1/6·2·3
1 = 1
Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)
Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)
1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)
1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)
1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1
1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1
Stimmt !

Answer 2

Standardaufgabe aus https://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Summe_%C3%BCber_Quadratzahlen

Lösungsweg

- Frage: Wie lautet der Induktionsanfang? Was ist die kleinste sinnvoll einsetzbare naturliche Zahl?

Der Induktionsanfang ist für \( n=1 \) zu führen. Die linke Seite der Summenformel ergibt:
$$ \sum \limits_{k=1}^{1} k^{2}=1^{2}=1 $$
Die rechte Seite der Formel ergibt:
$$ \frac{1 \cdot(1+1) \cdot(2 \cdot 1+1)}{6}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=\frac{6}{6}=1 $$

- Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und wie lautet die Induktionsbehauptung?

Induktionsvoraussetzung:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6} $$
Induktionsbehauptung:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} $$

- Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem du die Induktionsvoraussetzung eingesetzt hast?
Ausgehend von der Induktionsbehauptung erhältst du auf der linken Seite:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}\right)+(n+1)^{2} $$
\( \downarrow \) Induktionsvoraussetzung einsetzen
$$ =\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}+(n+1)^{2} $$
Damit lautet die zu beweisende Gleichung:
$$ \frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}+(n+1)^{2}=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} $$

- Aufgabe: Finde die notwendigen Termumformungen, um die linke in die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung zu überführen.

Die notwendigen Termumformungen sind:
$$ \begin{aligned} \frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}+(n+1)^{2} &=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)+6 \cdot(n+1)^{2}}{6} \\ &=\frac{(n+1) \cdot(n \cdot(2 n+1)+6 \cdot(n+1))}{6} \\ &=\frac{(n+1) \cdot\left(2 n^{2}+n+6 n+6\right)}{6} \\ &=\frac{(n+1) \cdot\left(2 n^{2}+3 n+4 n+6\right)}{6} \\ &=\frac{(n+1) \cdot(n \cdot(2 n+3)+2 \cdot(2 n+3))}{6} \\ &=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} \end{aligned} $$

Beweis

- Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \) bewiesen werden soll:

$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6} $$
1. Induktionsanfang:
$$ \sum \limits_{k=1}^{1} k^{2}=1^{2}=1=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=\frac{1 \cdot(1+1) \cdot(2 \cdot 1+1)}{6} $$
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6} $$
- 2b. Induktionsbehauptung:
$$ \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} $$

- 2c. Beweis des Induktionsschritts:

\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}\right)+(n+1)^{2} \)
\( \downarrow \) Induktionsvoraussetzung einsetzen
$$ \begin{array}{l} =\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}+(n+1)^{2} \\ =\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)+6 \cdot(n+1)^{2}}{6} \\ =\frac{(n+1) \cdot(n \cdot(2 n+1)+6 \cdot(n+1))}{6} \\ =\frac{(n+1) \cdot\left(2 n^{2}+n+6 n+6\right)}{6} \\ =\frac{(n+1) \cdot\left(2 n^{2}+3 n+4 n+6\right)}{6} \\ =\frac{(n+1) \cdot(n \cdot(2 n+3)+2 \cdot(2 n+3))}{6} \\ =\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6} \end{array} $$

Answer 3

Im Induktionsschritt sollte es wohl heißen$$\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^nk^2+(n+1)^\color{red}2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^\color{red}2=\frac{n(n+1)(2n+1)+\color{red}6(n+1)^\color{red}2}6.$$

Comments

Danke für deine Antwort warum kommt da jetzt noch ein hoch 2? Woher nimmst du das? und die 6?

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Es werden nicht die ersten \(n\) natürlichen Zahlen addiert, sondern die ersten \(n\) Quadratzahlen.

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Aja klingt logisch und die 6 kommt von wo?

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\(6\) ist der Hauptnennner, mit dem \((n+1)^2\) erweitert wird um addieren zu können.

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Vielen Dank für deine Antworten!

Answer 4

Du hast auf der rechten Seite n bereits durch (n+1) ersetzt, das darfst du aber nicht. Du musst zeigen, dass sich das ganze aus der Addition von (n+1)^2 ergibt.

$$(n+1)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = (n^2+2n+1) + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}= \frac{6n^2+12n+6}{6} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Jetzt einfach auf deine obige Form bringen (ohne das (n+1)^2 versteht sich)

Comments

Ooh, also habe ich die n + 1 auf der rechten Seite im falschen Schritt eingesetzt weil die Form mit n + 1 das ist was ich am Ende gleichsetzen möchte?

Vielen dank für die Hilfe, aber habe immer noch Schwierigkeiten bei der Umformung, da mir auch Grundlagen fehlen, muss Analysis aber leider im Rahmen meines Studiums belegen :'D.

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hat sich erledigt, habe es hinbekommen!

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Könntest du deine vollständige Lösung zeigen? Ich komme nämlich auch nicht weiter

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$$n(n+1)(2n+1)=(n^2+n)(2n+1)=2n^3+n^2+2n^2+n$$

So jetzt addierst du 6n^2 + 12n +6 und teilst am Ende nochmal durch 6.

Das ganze dann wieder in eine Klammer zu fassen ist recht schwer, deshalb versuche es mal so:

Am Ende soll ja $$\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$$ rauskommen. Ich schlage vor, die multiplizierst auch das mal aus und guckst, ob am Ende das gleiche rauskommt.

Answer 5

Jede vollständige Induktion beginnt mit dem Induktionsanfang. Aufgabe a) n=1 einsetzen:

1²=\( \frac{1·(2-1)·(2+1)}{3} \) Ausrechnen führt zu 1=1

Die Induktionsvoraussetzung sagt dann, dass es ein n gibt, für das die zu beweisende Formel gilt 1²+3²+5²+ ... + (2n-1)²=\( \frac{n·(2n-1)·(2n+1)}{3} \) .

Jetzt muss unter dieser Voraussetzung gezeigt werden, dass die Formel auch für n+1 gilt. Dazu addieren wir links und rechts das Quradrat der nächsten ungeraden Zahl (2n+1)².

1²+3²+5²+ ... + (2n-1)²+(2n+1)²=\( \frac{n·(2n-1)·(2n+1)}{3} \)+(2n+1)².

Dann ist noch zu zeigen, dass sich der rechte Term auch ergeben hätte, wenn man n durch n+1 ersetzt:

\( \frac{(n+1)·(2(n+1)-1)·(2(n+1)+1)}{3} \) .=\( \frac{n·(2n-1)·(2n+1)}{3} \)+(2n+1)².

Jetzt folgen nur noch Umformungen.

Answer 6

In a) sollst du per vollständiger Induktion zeigen, dass:$$\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)^2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$Der Induktionsbeweis gliedert sich in vier Phasen.

Induktionsanfang

Wähle ein beliebiges Element \(n\in \mathbb{N}\). Am naheliegendsten ist \(n=1\) und zeige, dass die Gleichung stimmt:$$a) \quad \sum_{k=1}^{1}{(2k-1)^2}=1^3=1 \quad \checkmark$$$$b)\quad \frac{1\cdot (2\cdot 1-1)(2\cdot 1+1)}{3}=\frac{3}{3}=1 \quad \checkmark$$ Induktionsvoraussetzung

Hier formulierst du, was du oben gezeigt hast:$$\exists n\in \mathbb{N}:\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)^2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$ heißt verbal "Es exisitert (mindestens) ein \(n\) aus den natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft [...]"

Induktionsbehauptung

In der Induktionsbehauptung zeigst du, dass wenn die Aussage für \(n\) gilt, sie auch für \(n+1\) gilt. Das damit der Beweis geliefert ist, werde ich hier nicht weiter ausführen. Gesagt sei nur, dass \(\mathbb{N}\) induktiv ist. Das formulierst du so:$$\exists n\in \mathbb{N}:\sum_{k=1}^{n+1}{(2k-1)^2}=\frac{(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}{3}$$ Induktionsschritt

Im Induktionsschritt zeigst du, dass die Induktionsbehauptung richtig ist. Hierfür brauchst du eigentlich nur einen Trick zu kennen, der sehr oft in Induktionsbeweisen vorkommt:$$(*) \quad \sum_{k=k_0}^{n+1}{f(k)}=\left(\sum_{k=k_0}^{n}{f(k)}\right)+f(n+1) $$ Also legen wir los:$$\sum_{k=1}^{n+1}{(2k-1)^2}=\textcolor{red}{\ \left(\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)^2}\right)\ \,}+\overbrace{(2(n+1)-1)^2}^{=4 n^2 + 4 n + 1}$$ Den rot-umrandeten Term findest du in der Induktionsvoraussetzung wieder, dort ist er gleich \(\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\), also ersetzen wir:$$\sum_{k=1}^{n+1}{(2k-1)^2}= \left(\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)^2}\right)+\overbrace{(2(n+1)-1)^2}^{=4 n^2 + 4 n + 1}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+4n^2+4n+1$$ Schließlich musst du nur noch beweisen, dass:$$\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+4n^2+4n+1=\frac{(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}{3}$$ Das schaffst du! :)

Answer 7

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)

1^2 = 1/6·2·3

1 = 1

Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

Comments

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n² + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n² + 7/6·n + 1

1/3·n² + 7/6·n + 1 = 1/3·n² + 7/6·n + 1

könnten Sie mir diese 3 Schritte noch erklären?

Wie kommen sie von

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)² = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

auf

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)?

wenn ich die beide Seiten durch (n+1) dividiere. müsste ja mindestens noch ein (n+1)^2 da stehen oder?

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1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)² = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

Beide Seiten mal durch den Faktor (n + 1) teilen

Du teilst eine Summe indem du jeden einzelnen Summanden teilst.

8 + 4 = 12

durch 2 teilen

8/2 + 4/2 = 12/2

4 + 2 = 6

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Zu zeigen:

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)

1^2 = 1/6·2·3

1 = 1

Stimmt !

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

Answer 8

Versuch es doch mal mit Hauptnenner und Ausklammern:

$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2= \frac{n+1}{6}[(2n+1)n+6(n+1)]=\frac{n+1}{6}[2n^2+7n+6]=\frac{n+1}{6}[(2n+3)(n+2)]$$