Polynomgleichung 3. Grades lösen. x^3-5x^2+(x-5)^2=3x(5-x)

Question

x³-5x²+(x-5)²=3x(5-x)

Ich bin bis jetzt so weit gekommen:

x²(x-5)+(x-5)²-3x(5-x)=0

...und weiß leider nicht mehr weiter. Wie kann ich weiter ausmultiplizieren?

Answer 1

Es ist besser, wenn du ausklammerst. Ausmultiplizieren bringt dich auf einen Umweg.

x²(x-5)+(x-5)²-3x(5-x)=0         Angenommen das stimmt so. Dann: 

x²(x-5)+(x-5)² + 3x(x-5)=0

(x^2 + (x-5) + 3x) (x-5) = 0 

Nun hast du vorne mit x^2 + (x-5) + 3x = 0 eine quadratische Gleichung und hinten die erste Lösung x1= 5. 

Comments

Die letzten beiden Differenzen (5-x) sind falsch herum.

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jd1377: Sollte jetzt stimmen. Beachte den roten Teil. 

(5-x) = - (x-5) 

Answer 2

x³-5x²+(x-5)²=3x(5-x)

x³-5x²+x²-10x +25 = 15x - 3x²        | -15x +3x²

x³-x²-25x + 25 = 0

Comments

x³-x²-25x + 25 = x^2 (x-1) -25 (x-1) = (x^2-25) (x-1) = (x+5) (x-5) (x-1) = 0

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Das ist die schönere Lösung, zugegeben. Die hat aber auch schon Lu geschrieben. Brauchen hier ja nicht alles doppelt. 

So kann man es auch lösen, mit Nullstelle raten und Polynomdivision. Etwas umständlicher, funktioniert aber auch, wenn die Nullstellen nich ganz so offensichtlich sind.

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Entschuldige, habe gerade gesehen, dass du es etwas anders gelöst hast. Hätte wohl nicht im Halbschlaf antworten sollen. :-)

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Vielen Dank für die raschen Antworten! Ich hab den ersten Rechenweg genommen, bin jetzt zu den weiteren Lösungen x=-5 und x=1 gekommen und die sind ja richtig. :)