Natürliche Exponentialgleichungen lösen

Question

Die Aufgabenstellung lautet: Lösen Sie die Gleichung  (2x² - 18) * (e^2x - 9) = 0

und in den Lösungen ist angegeben 2 * (x + 3) * (x - 3) * (e^x + 3) * (e^x - 3) = 0
x₁ = - 3     x₂= 3     x₃= ln(3)

Ich verstehe den Schritt nicht, der gemacht wurde. Wie kommt man auf die Umformung? Wie man am Ende auf x₁ und x₂ kommt ist mir klar, (dass in den Klammern nämlich Null rauskommen muss) aber bei x₃ habe ich nur eine Vermutung und bin skeptisch. Und den Schritt von der Umformung/Vereinfachung verstehe ich wie gesagt auch nicht. Ich wäre seeehr froh um eine Antwort, dass ich beruhigt und mit gutem Gewissen schlafen gehen kann. :D

Dankeschöön!

Answer 1

Es geht hier um die Anwendung der binomischen Formel

(a+b)(a-b)= a^2 -b^2

2x² - 18=

2 wurde ausgeklammert

2(x^2-9)

x^2-9= (x-3)(x+3)

analog hier:

e^2x - 9=(e^x -3)(e^x+3)

------------------------------------------------------

e^x -3= 0

e^x = 3

ln(e^x)= ln(3)

x *ln(e)= ln(3)

ln(e)=1

x=ln(3)

e^x+3=0

e^x =-3

ln(e^x)= ln(-3)

ln(-3) ist nicht definiert ->keine Lösung der Gleichung

Answer 2

(2·x^2 - 18)·(e^{2·x} - 9) = 0

Es gilt der Satz vom Nullprodukt. Du kannst also beide Klammern getrennt Null setzen.

2·x^2 - 18 = 0

2·x^2 = 18

x^2 = 9

x = ± 3

und

e^{2·x} - 9 = 0

e^{2·x} = 9

e^x =3

x = ln(3)

So besser verstanden?