Konvergenz bestimmen (quotientenkriterium?)

Question

Ich habe eine frage und zwar frage ich mich, welches Kriterium ich bei dieser Reihe anwenden muss

Ich habe es mit dem Quotienten und Wurzel Kriterium versucht es hat aber nicht geklappt

Kann einer vielleicht mit lösungsweg helfen?  Oder zumindest am Anfang mit welchem kriterium?

Answer 1

Wurzelkriterium klappt, dafür sollte man jedoch wissen bzw. zeigen können, was

\( \lim \limits_{\mu \to \infty}  \left( \frac{\mu}{\mu+1} \right)^{\mu} \) ist.

Gruß

Comments

danke für sie antwort!

Nehme ich dann die nte Wurzel oder die μte?

Und wie hilft es mkr, wenn ich weiß wie deine oben genannte Reihe konvergiert?

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Konvergiert ja gegen 1?

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Die \(\mu\)-te Wurzel.

Das ist keine Reihe sondern eine Folge und diese Grenzwertbetrachtung ergibt sich eigentlich direkt nach dem Anwenden des Wurzelkriteriums. Es reicht nicht nur aus, dass diese Folge konvergiert sondern es spielt eine Rolle was ihr Grenzwert ist. Ist dieser kleiner als 1 (und ja das ist er), dann konvergiert die REIHE nach dem Wurzelkriterium (absolut).

Um den Grenzwert aus meiner Antwort zu berechnen kann man die Definition der E-Funktion verwenden. Oder wenigstens die der eulerschen Zahl (die ihr schon gehabt haben müsstet).

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Achso so meinst du das, aber wie kann ich das dann kombinieren mit μ² ? Wie konvergiert die reihe dann?

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....

$$ \sqrt[\mu]{a^{\mu^2}} = a^{\mu} $$

Den Rest deiner Frage verstehe ich nicht.

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Und von a^μ der Grenzwert ist kleiner als eins und deshalb konvergiert die reihe?

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Ja, das wäre zu zeigen. Also ich meine, dass der Grenzwert kleiner als 1 ist.

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Ich habe gerade sowas ähnliches auch in Analysis. Man weiß das (u/(u+1))^u gegen 1/e konvergiert wäre der Gw hier dann 1/e^2 ?

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Nein warum? Der Grenzwert, den ich in meiner Antwort beschreibe ist genau 1/e.

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Wie komme ich darauf dass das gegen 1/e geht?

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Das hast du doch dahin geschrieben. Ich kann deiner Verwirrung überhaupt nicht folgen.

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ok stimm 1/e habe mich vertan . dachte man kann die Konvergenz mit Limes 1/e ausnutzen und dies quadrieren dabei ist das falsch.

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Das hat Arni geschrieben..tut mir leid für die verwirrung

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Oh ist nicht deine Schuld, hätte besser lesen sollen :D.