Konvergenz von Reihen, wenn das Quotientenkriterium scheitert

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4. (20 Punkte) Finden Sie zwei Beispiele für Folgen \( \left(a_{n}\right) \) reeller Zahlen, sodass
\( q=\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|=1 \)
und die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) jeweils konvergiert und nicht konvergiert.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war sofort die Folge 1^n und (-1)^n aber ich glaube das funktioniert nicht. Hat jemand einen Ansatz für mich? Wenn die oben genannten Folgen doch funktionieren, welches Konvergenzkriterium kann ich darauf anwenden?

Answer 1

Der Klassiker:

\(a_n =(-1)^n \frac 1n\) bzw. \(a_n = \frac 1n\)

Answer 2

Mein Vorschlag wäre a(n)=1/n

weil a(n+1)/a(n)= n/(n+1)= 1/(1+1/n)

für n nach unendlich kommt da 1 raus und die Reihe mit der Folge a(n)=1/n konvergiert nicht, da es eine harmonische Reihe mit Exponent des Nenners n 1 ist.

Und a(n)=1/n^2

Weil a(n+1)= 1/(n+1)^2 = 1/(n^2+2n+1)

a(n+1)/a(n) = n^2/(n^2+2n+1) = 1/(1+2/n+1/n^2) für n nach unendlich geht es gegen 1

und die Reihe mit der Folge a(k)=1/k^2 konvergiert, da es eine harmonische Reihe mit Exponenten k>1 ist und solche Reihen konvergieren.

Comments

Wie kommt ein Unerfahrener drauf?

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Wie bitte? Ich verstehe die Frage nicht. Habe ich was falsch gemacht?

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Nein:

Ich wollte nur wissen, wie man an die Aufgabe rangeht? Nach welchem System?

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Wie kommt ein Unerfahrener drauf?

indem man sich mit der Thematik beschäftigt. Knete das Problem so lange, bis eine Lösung heraus tropft.

Wenn man gar keine Idee hat, so probiere doch einfach ein paar Folgen bzw, Reihen aus. Man merkt dann sehr schnell, dass die ersten Bedingung (manchmal!) erfüllt ist, wenn \(a_k\) gegen einen Grenzwert \(g\) läuft. Und die zweite Bedingung kann nur zusätzlich erfüllt sein, wenn dieser Grenzwert \(g=0\) ist (notwendig, aber noch nicht hinreichend!).

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Wer sich im Studium mit Reihen beschäftigen muss, kennt die harmonische und die Leibniz Reihe - wenn er sich mit der Vorlesung auseinandersetzt.