SOS: Grenzwert berechnen von n^4/n!

Question

Hallo zusammen,

Ich habe heute diese Aufgabe in Mathe bekommen:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) = \( \frac{x^4}{x!} \)

Über jegliche Hilfe würde ich mich sehr freuen :)

LG

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Quotientenkriterium

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Hey, dem war ich mir bewusst nur komme ich auf keine Lösung. Magst du mir vielleicht eine nähere Erklärung dazu geben ? Vielen Dank!

Answer 1

((x+1)^4* x!)/( x!*(x+1)*x^4)

((x+1)/x))^4 * 1/(x+1)  = (1+1/x)^4* 1/(x+1) =  1/(x+1) = 0 für x ->oo

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Vielen lieben Dank für die Hilfe!

Answer 2

Du kannst x! schreiben als x*(x-1)*(x-2)*...*1

Also: x^4/(x*(x-1)*(x-2)*...*1) =  x/x * x/(x-1) * x/(x-2) * x/(x-3) * 1/(x-4) * ... 1

x/x = 1 , kann daher verschwinden

Also haben wir

x/(x-1) * x/(x-2) * x/(x-3) * 1/(x-4) *...

kürze jeden Bruch mit x :

1/(1-1/x) * 1/(1-2/x) * 1/(1-3/x) * (1/x)/(1-4/x)*...

lasse dann x gegen unendlich laufen, die ersten drei Brüche konvergieren gegen 1 als Faktoren und die restlichen gegen 0, da würde dann irgendwann stehen:

1*1*1*0*0...=0

Also konvergiert x^4/x! gegen 0 für x nach unendlich.

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

Answer 3

Ich nehme lieber n statt x:

Für \(n>4\) hast du

\(\frac{n^4}{n!}= \frac{n^4}{n(n-1)(n-2)(n-3)}\cdot \frac 1{(n-4)!}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1\cdot 0 = 0\)

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Vielen Dank!