Quotientenkriterium für Reihen (Formel umstellen)

Question

Hallo, ich soll mit Hilfe des Quotientenkriteriums folgende Reihe:  (k/k+1)^{k^2}  auf Konvergenz überprüfen.


Letztlich muss ich ja nur berechnen ob |(an+1)/an| größer oder kleiner als 1 ist. Mein Problem ist das Umstellen. Zuerst kann man einfach den Doppelbruch durch eine Multiplikation des Kerwertes auflösen, aber nun komm ich einfach zu keinem richtigem Ergebnis. Kann mir da jemand vielleicht vorrechnen, wie ich diesen Bruch auflöse? Das würde mir super weiterhelfen

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Letztlich muss ich ja nur berechnen ob |(an+1)/an| größer oder kleiner als 1 ist.

Nein. Die Reihe

         \(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n}\)

divergiert bekanntermaßen. Trotzdem ist \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1\) für alle \(n\).

Du musst zeigen, dass es ein \(q\) gibt mit

        \(\forall n: \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q < 1\).

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Ja das stimmt, ich hab mich falsch ausgedrückt. Kannst du mir trotzdem zeigen, wie man diesen Term vereinfacht (nachdem man den Doppelbruch aufgelöst hat)

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Welchen Doppelbruch meinst du?

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Wenn man das Quotientenkriterium anwendet, wie löse ich dann diesen Bruch auf?

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen das Quotientenkriterium anweden:$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{(k+1)^2}}{\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}}=\frac{\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{(k+1)^2}}{\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2+2k+1}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{-2k-1}}$$$$=\frac{\left(\frac{k+1}{k+2}\right)^{(k+1)^2}}{\left(\frac{k}{k+1}\right)^{(k+1)^2}}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{2k+1}=\left(\frac{k+1}{k+2}\,\frac{k+1}{k}\right)^{(k+1)^2}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{2k+1}$$$$=\left(\frac{k^2+2k+1}{k^2+2k}\right)^{(k+1)^2}\left(\frac{k+1-1}{k+1}\right)^{2k+1}$$$$=\left(1+\frac{1}{k^2+2k}\right)^{k^2+2k+1}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{(k+1)+(k+1)-1}$$$$=\!\left(\!1\!+\!\frac{1}{k^2\!+\!2k}\!\right)^{k^2+2k}\!\left(\!1\!+\!\frac{1}{k^2\!+\!2k}\!\right)\!\left(\!1\!-\!\frac{1}{k\!+\!1}\!\right)^{k+1}\!\left(\!1\!-\!\frac{1}{k\!+\!1}\!\right)^{k+1}\!\left(\!1\!-\!\frac{1}{k\!+\!1}\right)^{-1}$$$$\to e\cdot1\cdot e^{-1}\cdot e^{-1}\cdot1=\frac{1}{e}<1$$Die Reihe konvergiert.

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Das ist super lieb dass du es so ausführlich aufgeschrieben hast, Dankeschön

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Das habe ich gerne gemacht. Mir ist wichtig, dass du das auch verstehen kannst. Wenn du noch Fragen hast, bitte einfach melden.

Answer 2

Hallo,

Klammere  k im Nenner aus und kürze k   -->1/e

Comments

Könntest du die Zwischenschritte nochmal zeigen? Wie bist du denn nach der Anwendung des Quotientenkriteriums auf diese Formel gekommen. Aber Dankeschön schon mal.

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Ich habe das Wurzelkriterium angewandt.

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ich muss aber das Quotientenkriterium anwenden