Wie bilde ich die erste Ableitung der folgenden Funktionsschar: f_(a)(x) = √(ax) - (1/2)x^2

Question

Bilden Sie die erste Ableitung :

f_a(x) = √(ax) - (1/2)x²

Den Ausdruck der Wurzel können Sie davor umschreiben:

f_a(x)= (ax)^1/2 - (1/2)x² 

Comments

Den Fall \(a=0\) musst du gesondert untersuchen (das wurde in den bisherigen Antworten noch nicht erwähnt).

Answer 1

Hi,

wo genau liegt das Problem? Das a? Einfach als Zahl berücksichtigen ;).

Somit:

$$f_a'(x) = \frac12\cdot(ax)^{-\frac12}\cdot a - \frac12\cdot2x = \frac12\cdot a\cdot(ax)^{-\frac12} - x$$

Dabei ist \((ax)^{-\frac12} = \frac{1}{\sqrt{ax}}\)

Alles klar?

Grüße

Answer 2

Hi, die vorgeschlagene Umschreibung ist unnötig, wenn für den Minuend die Ableitung der Quadratwurzel als Grundfunktion und die Kettenregel benutzt werden. Die Ableitung lässt sich damit unmittelbar hinschreiben:
$$ f_a(x) = \sqrt{ax} - \frac12x^2,\quad f'_a(x) = \frac{a}{2\cdot\sqrt{ax}} - x. $$

Comments

Ich ergänze das oben notierte um den Hinweis: \(\quad\dots\text{ mit }ax> 0\).

Es muss mindestens \(ax\ge0\) gelten, damit die Funktionsterme der Schar \(f_a\) definiert sind.

Für \(a=0\) kann \(f_{a=0}\) auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert werden und ist dort offensichtlich auch differenzierbar.

Für \(a>0\) kann \(f_{a}\) auf \(\left\{x\in\mathbb{R}|x\ge0\right\}\) definiert werden, ist aber nur für \(x>0\) differenzierbar.

Für \(a<0\) kann \(f_{a}\) auf \(\left\{x\in\mathbb{R}|x\le0\right\}\) definiert werden, ist aber nur für \(x<0\) differenzierbar.

Answer 3

oder so über diesen Weg :

Comments

Falls \(a\) negativ ist, funktioniert das so nicht.