Benötige die erste Ableitung folgender Funktion: f(x) = sin(√(cos^2 (x) + 1))

Question

Benötige die erste Ableitung dieser Funktion. Bitte auch um ausführliche beschreibung der angewandten Regeln, damit ich es gut nachvollziehen kann.

$$ f ( x ) = \sin \left( \sqrt { \cos ^ { 2 } ( x ) + 1 } \right) $$

Answer 1

Kettenregel:

f'(x) = cos(  sqrt( cos^2(x) + 1)  )  *  1/2 * (cos^2(x) + 1)^{-1/2}  *  ( 2*cos(x)*(-sin(x))  + 0 );

→ Ableitung der äußeren Funktion das Argument sqrt( cos^2(x) + 1) wird unverändert übernommen
→ Ableitung der inneren Funktion sqrt( cos^2(x) + 1), ( cos^2(x) + 1) bleibt unverändert
→ Ableitung der 2. inneren Funktion ( cos^2(x) + 1), aus cos^2(x) wird 2*cos(x)*(-sin(x)) und aus 1 wird 0

$$ f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { \cos \left( \sqrt { \cos ^ { 2 } ( x ) + 1 } \right) \cos ( x ) \sin ( x ) } { \sqrt { \cos ^ { 2 } ( x ) + 1 } } $$

Answer 2

f(x) = sin(√(cos^2 (x) + 1))

Kettenregel mehrfach benutzen

äussere Funktion sin u.             Ableitung  cos u

innere Funktion u= √(cos^2 (x) + 1) = (cos^2 (x) + 1)^0.5

nochmals Kettenregel

äussere Funktion Wurzel √v = v^{0.5}      Ableitung 0.5 v^{-0.5}

innere Funktion v=(cos^2 (x) + 1)

Ist jetzt nochmals geschachtelt mit innerer Ableitung (- sin(x))

v'(x) = 2*cos (x) * (-sin(x))

Und jetzt alles als Produkt hinschreiben

f ' (x) = cos u *      0.5v^{-0.5}                         *2cos(x)*(-sin(x))

Terme mit x einsetzen

f ' (x) = cos √(cos^2 (x) + 1) *      0.5(cos^2 (x) + 1)^{-0.5}                         *2cos(x)*(-sin(x))

Noch die 0.5*2*(-1) zusammennehmen.

f ' (x) = - cos √(cos^2 (x) + 1) *  (cos^2 (x) + 1)^{-0.5} *cos(x)*sin(x)

Viel mehr kann man wohl nicht mehr vereinfachen. Schau erst mal, ob ich nichts verloren habe.