Erste Ableitung bilden. Beispiel: f(x) = sin(0,1x^5) + cos(2pi) + cos(pi*x) .

Question

Erste Ableitung bilden:

\( f(x)=\sin \left(0,1 x^{5}\right)+\cos (2 \pi)+\cos (\pi x) \\[1.5ex] f(x)=\frac{-\sin (x)}{\mathrm{e}^{3 x^{2}}} \\[1.5ex] f(x)=\ln (\sin (\sqrt{x})) \quad \text { für } x \in(0, \pi] \\[1.5ex] f(t)=3 t^{3} \cdot \mathrm{e}^{-3 t} \cdot \cos (\mathrm{x}) \)

Ansatz/Problem:

Ich weiss nicht wie ich vorgehen soll z. B. bei der ersten Funktion. Was ist u und was ist v?

Answer 1

f(x) = sin(0,1x^5) + cos(2pi) + cos(pi*x)

Ableitung von sin und cos sind ja bekannt.

Wegen der Kettenregel musst du im ersten Summanden noch mit der Abl von (0,1x^5) multiplizieren, hast also bei sin(0,1x^5) als Ableitung cos(0,1x^5) * 0,5x^4

bei   cos(2pi)  ist die Abl. 0, weil es eine Konstante ist

bei   cos(pi*x)  ist die Abl   - sin ( pi*x )  *  pi   wieder Kettenregel, insgesamt also

f'(x) =   cos(0,1x^5)  *  0,5x^4     - sin ( pi*x )  *  pi

Comments

Die u und v werden aber auch als helfende Schreibweise bei der Kettenregel verwendet, wie sie hier angewandt werden muss. (Hast du ja auch gemacht). Das heißt wir haben

$$u(v(x))+y+z(w(x))$$

Mit \(u(v) = \sin(v), v(x) = 0,1x^5, y=\cos(2\pi)=1,z(w)=\cos(w)\text{ und } w(x)=\pi x.\)

Edit: Kommentar sollte zur Antwort von georgborn

Answer 2

Die Bezeichner u und v werden zum Beispiel bei der Ableitung nach der
Produktregel verwendet. Ein Produkt liegt allerdings nicht vor sondern
eine Summe mit 3 Summanden.

Außerdem
[ sin ( term ) ] ´ = cos ( term )  * ( term ) ´

( 0.1 * x^5  ) ´ = 5 * 0.1 * x^4 = 0.5 * x^4

f ( x ) = sin ( 0.1 * x^5 ) + cos ( 2*Pi ) + cos ( PI * x )

f ´( x ) =  cos ( 0.1 * x^5 ) * 0.5 * x^4  - sin ( PI * x ) * PI