Numerik: Integrale berechnen - Trapezformel

Question

kann mir jemand bei der A) weiterhelfen? Ich habe keine Ahnung wie ich den Ansatz wählen soll.

Ich weiss wie die trapezformel aussieht aber komme so nicht weiter..

Comments

Bei der A) machst Du am besten, was bei der A) steht, weil was bei der A) steht weiss hier niemand ausser Dir.

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Das hat leider mein Bild nicht hochgeladen..

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https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen

Eine Funktion heisst konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt.

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Ja das weiss ich Ich weiss nur nicht wie ich die Aufgabe lösen soll..

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Verbinde (a, f(a)) und (b, f(b)) durch eine Gerade. Die Flaeche da drunter zwischen a und b ist das T(f) aus der Aufgabe.

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Ja ich würde es nur gerne mathematisch korrekt beweisen

Answer 1

Die Funktionsgleichung für die Verbindungsstrecke ist

g(x) = (f(b)-f(a))/(b-a) *(x-a) + f(a)   und wegen konvex gilt   f(x) ≤ g(x)

Damit auch

Integral von a bis b über f(x)dx ≤

Integral von a bis b über g(x)dx

g besitzt Stammfunktion G(x)= (1/2)* (f(b)-f(a))/(b-a) *(x-a)^2 + f(a)*x

und das gibt von a bis b gerade

(1/2)* (f(b)-f(a))/(b-a) *(b-a)^2 + f(a)*b  -  ( (1/2)* (f(b)-f(a))/(b-a) *(a-a)^2 + f(a)*a )

= ...

= T(f)

Also  I(f) ≤ T(f) .

Bei b) einfach nachrechnen.