Surjektivität untersuchen von f(x)=x^2/(x^2+1)

Question

Ich habe folgende Funktion auf Surjektivität zu prüfen.

f(x)=x^2/(x^2+1) mit f:ℝ→[0,1)

zuerst wollte ich nach y umstellen, y=x^2/(x^2+1) wird dann zu x=√[y/(y-1)] und dieses dann wieder in die Ausgangsfunktion f(√[y/(y-1)]) eingeben. Ich hätte dann erwartet, das als Ergebnis y raus kommt, aber da kam nur ein unbrauchbarer Bruch heraus.

Damit kam ich nicht weiter, nun habe ich behelfsmäßig die Grenzwerte gebildet und festgestellt, das die Funktion gegen 1 strebt, und wenn ich f(0) berechnen 0 herauskommt. Damit ist für mich eigentlich klar, dass die Funktion surjektiv ist, da alle Werte des Wertebereichs [0,1) betroffen sind, also exklusive 1 was der Grenzwert ja belegt.

Ich befürchte, dass es nicht als mathematischer Beweis durchgeht. Ich habe auch Schwierigkeiten mit der Formulierung Abbild und deshalb haben mich die vielen Erklärungen zur Surjektivität bei google nur noch mehr verwirrt.

Ich hoffe auf verständlich Hilfe.

MfG chris

Answer 1

Du musst doch nur zeigen:

Zu jedem y aus [0;1) gibt es ein x mit f(x)=y

Sei also y aus [0;1)

f (x) = y

heißt

x^2 / ( 1+x^2) = y

x^2 = y *(1+x^2)  = y + y*x^2

x^2(1-y) = y

x^2 = y / (1-y)  klappt wegen y<1

außerdem ist wegen y aus [0;1) der Term   y / (1-y)   aus [0;unendlich)

also existiert die Wurzel aus diesem Wert, und die ist das gesuchte x.