a) Geben Sie den Zeitraum an, in dem nach dieser Prognose der Umsatz steigen bzw. fallen wird.
f'(t) = 3·t^2 - 42·t + 120
f'(t) ≥ 0 --> t ≤ 4 ∨ t ≥ 10
f'(t) ≤ 0 --> 4 ≤ t ≤ 10
b) Berechnen Sie den Zeitpunkt innerhalb der 12 Monate, an dem sich der Umsatz am Stärksten ändert.
f''(x) = 6·t - 42
f''(x) = 0 --> t = 7 Monate
c) Erstellen Sie auf der Grundlage Ihrer Ergebnisse den Graphen der Funktion f.
...
d) Der Geschäftsführer ist vorsichtiger. Er nimmt an, dass der Umsatz während der betrachteten 12 Monate linear so ansteigt, dass am Anfang und am Ende des Beobachtungszeitraums die Verkaufszahlen beider Prognosen gleich sind. Welche Funktion g beschreibt den Umsatz nach dieser Prognose?
g(t) = (f(12) - f(0)) / (12 - 0) · (t - 0) + f(0) = 12·t + 200
e) Für welchen Zeitpunkt sagen die beiden Prognosen denselben Umsatz voraus? Zu welchem Zeitpunkt ist der Unterschied der prognostizierten Umsatzzahlen am größten?
f(t) = g(t)
t^3 - 21·t^2 + 120·t + 200 = 12·t + 200
t^3 - 21·t^2 + 108·t = 0
t·(t^2 - 21·t + 108) = 0
t = 0 Monate ∨ t = 9 Monate ∨ t = 12 Monate
d(t) = f(t) - g(t) = t^3 - 21·t^2 + 108·t
d'(t) = 3·t^2 - 42·t + 108 = 0 --> t = 3.394 Monate
