Mengen richtig beweisen?

Question

Ich sitz hier vor einer Aufgabe und muss das beweisen, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich da am besten rangehen soll.

1: Prove that for any sets X and Y , we have X ∩ Y ⊆ X.

2: Prove that for any set X, we have X ∪ X = X.

3: Prove that for any set X there exist sets Y and Z such that X = Y ∪ Z.

4: Prove that ø ⊆ X for any set X.

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.

Answer 1

Let x be in X∩Y.

x ∈ X∩Y ⇒ x ∈ X by definition of ∩. Then X∩Y⊆X by definition of ⊆.