Aufgabe:
Habe ich richtig gerechnet?
1. Aufgabe:
Gegeben sind die komplexen Zahlen
z1= 1+6i , z2= −5+5i, z3= \( \frac{1}{8} \) - \( \frac{1}{4} \)i
a) Berechnen Sie z1+z2, z1⋅z2, z1*z1¯ und z2/z1 und stellen Sie das Ergebnis in der Form x+ iy dar (mit x,y∈R ).
z1+z2:
1+6i + (−5) +5i
= -4+11i
Muss man das noch ausführlicher hinscheiben?
z1⋅z2:
(1+6i) * (-5+5i)
= (1*-5)+(1*5i)+(6i-5)-(6i*5i)
= (1*-5)+(1*5i)+(6i-5)-(6*5)
= (1*-5-6*5) + i*(1*5+6*-5)
= -35+35i
z1*z1¯:
(1+6i) * (1-6i)
= 1^2-(6i)^2
= 1^2-i^2*6^2
= 1^2-(-1)*6^2
= 1^2+6^2
= IzI^2
z2/z1:
\( \frac{(-5+5i)}{(1-6i)} \) * \( \frac{1-6i}{1-6i} \)
= \( \frac{(-5+5i)*(1-6i)}{(1-6i)*(1-6i)} \)
= \( \frac{-5+5i+30i+(-5)}{1^2+6^2} \)
= \( \frac{-10+35i}{37} \)
= - \( \frac{10}{37} \) + \( \frac{35}{37} \) i
b) Welche der komplexen Zahlen z1 und z3 sind Elemente der folgenden Mengen und welche nicht?
M1:={z∈C| Im(z) ≥ Re(z)},
M2:={z∈C| |z| ≤ 1}.
M1:={z∈C| Im(z) ≥ Re(z)}:
Für Z1= 1 + 6i
Re(z)= 1
Im(z)= 6
6 ≥ 1⇒ wahre Aussage
d.h Z1 ∈ M1
Für Z3= \( \frac{1}{8} \) - \( \frac{1}{4} \) i
Re(z)= \( \frac{1}{8} \)
Im(z)= - \( \frac{1}{4} \)
- \( \frac{1}{4} \) ≥ \( \frac{1}{8} \) ⇒ falsche Aussage
d.h. Z3 ∉ M1.
M2:={z∈C| |z| ≤ 1}:
Für Z1= 1 + 6i
Iz1I=\( \sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2} \)
Iz1I= \( \sqrt{1^2+6^2} \) = \( \sqrt{1+36} \) = \( \sqrt{36} \) ≥ 1 ⇒ falsche Aussage. d.h. Z1 ∉ M2.
Für Z3= \( \frac{1}{8} \) - \( \frac{1}{4} \) i
Iz3I = \( \sqrt{(1/8)^2+(1/4)^2} \) = \( \sqrt{(1/64)^2 + (1/4)^2 } \) = \( \sqrt{5/64} \) = ≤ 1 ⇒ falsche Aussage. d.h. Z3 ∉ M2.
