Beweise: Seien A, B, C Mengen. Dann gilt: B \ (A ∪ C) = (B \ A) ∩ (B \ C):

Question

ich möchte wissen, ob mein Beweis formal korrekt ist.
Noch einmal die Aufgabe: Seien A, B, C Mengen. Dann gilt: B \ (A ∪ C) = (B \ A) ∩ (B \ C).

Rechte Seite:
Sei x Element (B \ A) ∩ (B \ C), so folgt daraus, dass x ∈ (B\A) und x ∈ (B\C).
In beiden Fällen ist x also Element von B. Daraus folgt, dass x ∉ B und x ∉ C,
da B\A und B\C gilt. Somit gilt x ∈ (B\A) und x ∈ (B\C). Zusammengefasst
ist x ∈ B\(A ∪ C). x ist also Element der rechten Seite.

Linke Seite:
Sei x ∈ B\(A ∪ C), so folgt daraus, dass x ∈ B und x ∉ (A ∪ C). Da x nicht
in der Vereinigung von A ∪ C liegt, gilt auch x ∉ A oder x ∉ C. Im ersten Fall
ist x ∈ B\A und im zweiten Fall ist x ∈ B\C. Daraus folgt also, x ist in der
Vereinigung (B \ A) ∩ (B \ C) enthalten und Element der linken Seite.

Ich hoffe jemand kann meinen Beweis entgegenlesen :-)

und für die Mühe, Florian T. S.

Comments

...., dass x ∉ A und x ∉ C, kleine Korrektur zu einem Tippfehler!

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Korrekt, falsch ???

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Vom Duplikat:

Titel: Beweise das gilt (A \ B) ∩ (A \ C) = A \ (B ∪ C).

Stichworte: mengen,mengenlehre,beweis

beweise, dass für beliebige Teilmengen A, B und C einer Menge M gilt: (A \ B) ∩ (A \ C) = A \ (B ∪ C). 

Answer 1

" In beiden Fällen ist x also Element von B. Daraus folgt, dass x ∉ B und x ∉ C, "

Das ist in jedem Fall falsch.

Bezeichnung: #X sei die Komplementärmenge von X bzgl. A∪B∪C

(B\A) ∩ (B\C)

=(B ∩ #A) ∩ (B ∩ #C)     nach Definition von  X\Y

= B ∩ #A ∩ B ∩ #C         allg. Assotiativgesetz für ∩

= B ∩ (#A ∩ #B)     allg.Assotiativgesetz , allg.Kommutativgesetz für ∩ [ und B ∩ B = B ]

= B ∩ #(A ∪ B)       de Morgan

= B \ (A ∪ B)

Comments

Habe noch einmal kommentiert und korrigiert:
"...., dass x ∉ A und x ∉ C, kleine Korrektur zu einem Tippfehler!"
Wäre dann meine Beschreibung richtig?
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Was genau ist eine Komplementärmenge und was sagt das # aus?

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das # habe ich für die Komlementärmenge von A als Bezeichnung eingeführt, weil ich "A mit Querstrich" im Editor nicht hinkriege.

Also #A = A mit Querstrich

"In beiden Fällen ist x also Element von B. Daraus folgt, dass x ∉ A und x ∉ C, " (korrigiert)

Wieso folgt letzteres aus ersterem?

Verbale Argumentationen sind immer schwierig!

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Aso ok :-)Da x ∈ (B\A) und x ∈ (B\C) ist kann gefolgert werde,  dass x nicht Element von A und x nicht Element von C ist. Dafür steht B\C oder? Dass nur die Menge B betrachtet wird und somit x nicht Element der Menge C ist. 

Answer 2

Dürft Ihr Beweisführung über Venn-Diagramme machen?

Was darf zur Beweisführung genutzt werden?

Wenn es frei ist würde ich das über Venn Diagramme machen. Das empfinde ich das einfachste und das versteht auch jeder Grundschüler.

Comments

Hallo

,danke. Ich habe das Thema hier schon gefunden:

https://www.mathelounge.de/273540/beweise-seien-a-b-c-mengen-dann-gilt-b-a-∪-c-b-a-∩-b-c

, kann also gelöscht werden. Sorry