Zeige, dass es genau ein n gibt, so dass Ungleichung an < (a0+....+an)/(n) ≤ an+1 stimmt

Question

Sei 0 < a₀ < a₁ < a₂ <  eine streng

monoton wachsende und unbeschränkte Folge positiver reeller Zahlen. Zeige: Es

gibt genau ein n grösser gleich 1, so dass

a_n <  (a₀+....+a_n)/(n)  kleiner gleich   a_n+1

EDIT(Lu): ursprüngliche Überschrift geändert. ursprüngliche Version: "finde ein n, so dass Ungleichung stimmt"

Comments

Gemäss Fragestellung musst du nur zeigen, dass es genau so ein n gibt.

In der Überschrift schreibst du, dass du es finden möchtest.

Was soll's denn nun sein?

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Der Wert von \( n \) ist abhängig von der Folge. Zum Beispiel ist \( n=1 \) in der Folge \( (1,2, 3, \dots) \) und \( n=2 \) in der Folge \( (2, 4, 6, \dots) \). Man wird sich wohl mit dem Beweis der Existenz begnügen müssen.

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* ... und \( n=2 \) in der Folge \( (2,3,4,5,\dots) \).

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Gemäss Fragestellung musst du nur zeigen, dass es genau so ein n gibt. Die Fragestellung ist richtig.

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Man wird sich wohl mit dem Beweis der Existenz begnügen müssen.

Ja es geht um den Beweis der Existenz.

Answer 1

Da die Folge unbeschränkt ist, ist es keine Cauchyfolge, es existiert also ein n, so dass es m und k gibt so dass a0 < Iam-akI

Um dieses  n zu finden,  forme ich die Aussage

an<(a0+  +an)/ n <=an+1

um in

n*an<a0+  +an<=n*an+1

mit di = n(i+1) - ni

wird daraus

1d1 +  + (n-1)d(n-1) < a0<= 1d1+ + n dn

Wir finden n also mit der Methode " schenk ein, mach Striche"

Der Wirt füllt die a0 in eine Flasche, dann schenkt er ein Bier ein und macht einen Strich.

Nun schänkt er aus dieser Flasche 1 d1 ein, falls danach noch ein Rest in der Flasche bleibt, macht er noch einen Strich,

Falls es möglich ist, schänkt er 2 d2 ein, wieder macht er einen Strich, wenn dies gelingt und noch ein Rest in der Flasche ist.

Dann folgen wenn möglich 3 d3, 4 d4 usw, jeweils wird ein Strich gemacht, wenn es möglich ist und ein Rest in der Flasche bleibt. n ergibt sich dann aus der Summe der Striche.