Es seien L und N Teilmengen irgendeiner Menge M:

Question

die Aufgabe ist: Es seien L und N Teilmengen irgendeiner Menge M. Zeigen Sie die folgenden Übereinstimmungen der Komplementärmenge:

(L ∩ N)^C = L^C ∪ N^C
Mein "Beweis":
Sei x Element N, dann folgt, dass x Element M und x Element L ist, da L Teilmenge von N und M Teilmenge von N sind. Somit ist x Element L ∩ M (dem Durchschnitt von L und M). Da x Element L ∩ M ist, gilt auch x ∈ L^C und x ∈M^C, da x ∈ N ist. Somit ist x auch ∈ L^C ∩ M^C was der rechten Seite entspricht.
Stimmt mein Beweis? Wenn ja, wie muss ich für die linke Seite fortfahren?

(L ∪ N)^C = L^C ∩ N^C
Hier habe ich leider noch keinen Ansatz.

Wenn ich richtig verstanden habe ist zum Beispiel die Komplementärmenge von B alle x außer aus der Menge B selbst?

Florian T. S.

Comments

Kann keiner weiterhelfen? :-/

Answer 1

Mein "Beweis":
Sei x Element N, dann folgt, dass x Element M und x Element L ist, da L Teilmenge von N und M Teilmenge von N sind. Somit ist x Element L ∩ M (dem Durchschnitt von L und M). Da x Element L ∩ M ist, gilt auch x ∈ L^C und x ∈M^C, da x ∈ N ist. Somit ist x auch ∈ L^C ∩ M^C was der rechten Seite entspricht.
Stimmt mein Beweis? Wenn ja, wie muss ich für die linke Seite fortfahren?

Das stimmt nicht unbedingt, da N und L nicht mal zwingend gemeinsame Elemente haben.

L ist nur Teilmenge von M, nicht unbedingt von N. Weiter ist M keine Teilmenge von N, aber N von M.

Nein, denn wenn \(x\in L^C \), dann ist x NICHT in L und somit insbesondere nicht im Schnitt von L und M.

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Dein Ansatz ist schon falsch. Die beiden Gleichheiten, die du zeigen sollst, heißen übrigens DeMorgan'sche Regeln.

Wenn du zeigen willst, dass zwei Mengen \(A,B\) gleich sind, d.h. \( A=B\), dann tust du dies, in dem du zeigst, dass \(A\subseteq B\) und \(B \subseteq A\). Um \(A\subseteq B\) zu zeigen, nimmst du ein Element \(x\) aus \(A\) und zeigst, dass dann auch \(x\in B\). Für \(B\subseteq A\) nimmst du \(x\in B\) und zeigst, dass dann auch \(x\in A\).

Ich zeige dir das mal bei der zweiten der beiden Aufgaben, die erste kannst du noch mal probieren.

Aussage: Es sei \(M\) eine Menge und \(L,N\subseteq M\) (L und N sind Teilmengen von M, aber über die Beziehung zwischen L und N ist nichts weiter bekannt). Dann gilt:

$$ (L \cup N)^C = L^C \cap N^C $$

Beweis: Zuerst wird \( (L \cup N)^C \subseteq L^C \cap N^C \) gezeigt. Sei \(x\in (L \cup N)^C\), d.h. \(x\notin L\cup N\). Dies bedeutet per Definition von \(L \cup N\), dass \(x\notin L\) und \(x\notin N\) (überlege dir weshalb das so ist), oder ganz formal: Es gilt \(x\notin L \land x\notin N\). Dies ist gleichbedeutend mit \(x\in L^C \land x\in N^C\) und somit \(x\in L^C \cap N^C\). Damit ist \( (L \cup N)^C \subseteq L^C \cap N^C \) gezeigt.

Nun wird \( (L \cup N)^C \supseteq L^C \cap N^C\) gezeigt. Sei \(x \in L^C \cap N^C\), d.h. es gilt \( x\in L^C \land x\in N^C\), per Definition des Komplements wird daraus \(x\notin L \land x\notin N\) und dies ist äquivalent zu \( \lnot(x\in L \lor x\in N) \) also \(x\notin L \cup N\) und dies ist gleichbedeutend mit \(x\in (L \cup N)^C\). Beweis fertig.

Comments

Ok den zweiten Beweis kann ich nachvollziehen, danke für deine Mühe LC :-)

Nur: Es seien L und N Teilmengen irgendeiner Menge M; dann ist doch L Teilmenge von M und N Teilmenge von M?

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Ja so ist es richtig, du hattest lediglich M und N vertauscht fällt mir gerade auf.

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Wenn x ∉ L ∪ N dann folgt x ∉ L und x ∉ N.

Meine Überlegung: Da x kein Element der Vereinigung L ∪ N ist, ist x weder in der Menge L noch in der Menge N enthalten.

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Genau :)          

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Super danke dir LC :-) ! Das bildlich vorstellen klappt langsam besser und die zweite Aufgabe habe ich auch schon gelöst :-)

VG Florian