Extremwertproblem Dreieck Punkt auf Graph

Question

"Der Punkt C(a|f(a)) liegt auf dem Graphen der Funktion f mit f(x) = -x² + 25. Berechnen Sie den Wert für a > 0, sodass der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A(0|0), B(a|0) und C möglichst groß wird"

Wenn ich a rausbekommen will muss ich dann f(a) = 0 setzen?

Comments

Die Gleichung f(a) = 0 sagt "Der Funktionswert von f an der Stelle a ist 0". Anders ausgedrückt "Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt (a|0)" oder noch etwas anders "Die Funktion f hat bei a eine Nullstelle".

Das sind nicht die Anforderungen, die a laut Aufgabenstellung erfüllen muss.

Answer 1

Das Dreieck ABC ist rechtwinklig mit rechtem Winkel bei B.

Stelle allgemein eine Formel auf, wie der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks aus den Katheten berechnet wird (F=...).

Stelle Terme für die Katheten in dem Dreieck deiner Aufgabenstellung auf. In den Termen wird die Variable a vorkommen.

Setze die Terme in obige Formel ein. Dadurch bekommst du eine Funktion F(a) mit Variable a.

Berechne das Maximum von F(a) für positive a.

Answer 2

~plot~-x^2+25; [[-5|5|0|25]];x=2~plot~

Das Dreieck hat ein Teil der x-Achse und ein  Teil der roten Geraden

mit x=a als Katheten und damit die Flächenmaßzahl

A(a) = a * f(a) / 2

        = a * ( -a^2 +25) / 2

       = -1/2 a^3 + 25/2 a

A ' (a) = -3/2 a^2 + 25/2

A '(a) = 0 wenn  -3/2 a^2 = - 25/2

                                     a^2 = 25/3 

also wegen a>0   a = wurzel(25/3).

Jetzt noch mit 2. Ableitung zeigen, dass hier ein Max vorliegt.