Aufgabe 1 (2 Punkte)
Es sei E := {(a, b) : a ∈ R, b ∈ R, a2 + b2 = 1}. Zeigen Sie:
Sind (a, b) und (c, d) Elemente von E, so ist auch (ac − bd, ad + bc) ein Element
von E.
Aufgabe 2 (3 Punkte)
Bestimmen Sie alle Tripel (m, u, v) natürlicher Zahlen, die die
folgenden beiden Eigenschaften erfüllen:
62 + m2 = u2 und 152 + m2 = v2.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Vorbemerkung: Sind m, n aus N, so liefert die Division von n durch
m einen eindeutigen Quotienten q ∈ N und einen eindeutigen Rest r ∈ N mit
n = q · m + r und 0 ≤ r ≤ m − 1.
Genau dann ist m ein Teiler von n, wenn r = 0 ist. Beispiel: Bei (n,m) = (810, 62) ergibt sich
(q, r) = (13, 4), weshalb hier m kein Teiler von n ist.
Zur konkreten Aufgabenstellung: Im Folgenden seien m und a aus N.
(a) Zeigen Sie: Ist m ein Teiler von a2, und ist r der Rest bei der Division von a durch m,
so ist m ein Teiler von r2.
(b) Es seien nun speziell m = 3 oder m = 5. Zeigen Sie: Ist m ein Teiler von a2, so folgt m
teilt bereits a.
(c) Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahlen s, t mit s2 = 3 und t2 = 5 gibt.
Aufgabe 4 (3 Punkte)
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte des Kontinuums und
C sei ein auf der Strecke von A nach B liegender Punkt. Man sagt, dass C die Strecke von A
nach B im Verhältnis des goldenen Schnittes teilt, falls gilt:
AB : AC = AC : CB.
(Dabei bedeutet XY die Länge der Strecke von Punkt X nach Punkt Y .)
Man nennt dann := AB : AC die Verhältniszahl des goldenen Schnittes.
Berechnen Sie und zeigen Sie, dass irrational ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass 2 = + 1 gilt.
Aufgabe 5 (4 Punkte)
Gegeben ist die Menge M := {s + t · √2 : s ∈ Q, t ∈ Q}. Zeigen
Sie:
(a) Ist z = s + t · √2 aus M (mit s, t ∈ Q), so ist z genau dann irrational, wenn t 6= 0 ist.
(b) 1
3+p72
ist Element von M.
(c) √3 ist kein Element von M.
