Hinreichende und notwendige Bedingung zur Aussage?

Question

Sagen wir mal, die Aussage ist x < 5.

Wie muss dann die Bedingung für X aussehen, damit sie zur ersten Aussage hinreichend ist; notwendig ist; hinreichend und notwendig ist?

Meiner Vorstellung wär:

"x < 3" eine notwendige Bedingung für die erste Aussage.

"x = 1" eine hinreichende Bedingung für die erste Aussage.

Stimmt das? Und wie würde dann eine Bedingung aussehen, die zugleich notwendig und hinreichend für die Aussage "x < 5" ist?

Answer 1

Wenn eine Zahl x die Bedingung x < 6 nicht erfüllt, dann kann sie x<5 nicht erfüllen. Es ist absolut unabdingbar, die Bedingung x < 6 zu erfüllen; um die Bedingung x<5 zu erfüllen. Die Bedingung  x < 6 ist notwendig für x<5.

x<3 ist allerdings nicht notwendig, um x<5 zu erfüllen. Ich kennne sehr viele Zahlen, die meilenweit davon entfernt sind, x<3 zu erfüllen, die aber trotzdem x<5 erfüllen. Die 4 zum Beispiel.

x<3 ist hinreichend um x<5 zu erfüllen. Mit x<3 ist man auf der sicheren Seite, wenn man x<5 erfüllen will.

Answer 2

Deine Überlegungen sind nur teiweise richtig!

Beides sind  hinreichende Bedingungen für x<5.

x muss nicht "notwendigerweise" = 1 ( <3) sein, damit x<5 gilt

2x < 10 <=> x < 5 , also:  2x < 10   hinreichend und notwendig für x<5 (und umgekehrt)

Comments

Hallo und danke für die Antwort.

Ich verstehe aber dein Beispiel nicht. Also ist 2*x < 10 hinreichend und notwendig für die Aussage x < 5? Also wär im Fall dass die Aussage "x > 7" ist, "2*x > 14" hinreichend und notwendig zugleich? Also genügt es beide Seiten der Aussage zu multiplizieren mit einer Zahl, um schon als hinreichend und notwendig zu gelten?

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Ja, weil das Multiplizieren einer Ungleichung mit einer positiven Zahl eine Äquivalenzumformung ist .

Bei einer negativen Zahl gehört zur Aquivalenzumformung noch das "Umdrehen" des Zeichens.

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Da bleibt mir dann aber noch eine Frage. Wie würde für das Beispiel von "x < 5" eine notwendige Bedingung aussehen, die nicht hinreichend ist? Gibt es für dieses Beispiel überhaupt eine klare notwendige Bedingung, die nur notwendig aber nicht hinreichend ist?

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x<7 ist notwendig, aber nicht hinreichend für x<5

Für x<5 muss notwendigerweise x<7 gelten

x<7 reicht aber nicht aus (hin) , um x<5 sicherzustellen.

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Ah jetzt ist mir alles klar, vielen dank Wolfgang