Parameter für die Lösbarkeit finden

Question

Fur welche c∈ℝ ist das lineare Gleichungssystem
x - c*y = 1
(c -1)* x- 2*y = 1

a) eindeutig losbar
b) lösbar, aber nicht eindeutig
c) nicht lösbar?

Wie löse ich eine solche Aufgabe, kann ich es mit der Determinante machen (habe ich online irgendwo aufgeschnappt)? Wenn ja, wie? Oder Welche Möglichkeiten gibt es sonst noch?

Ich würde es gerne erstmal selbst probieren und wenn ich scheitere, schreibe ich nochmal. Ich habe nur aktuell keine handfesten Ideen bzw. einen Ansatz, zur Lösung des Problems.

Answer 1

Beginne ganz klassisch, ohne Gauß-Algorithmus, stelle die Gleichung (1) nach x um x=1+cy, dann in (2) einsetzen

(c-1)*(1+cy)-2y=1

c+c^2 y-1-cy-2y=1

y(c^2-c-2)=2-c

jetzt teile durch (c^2-c-2) aber ACHTUNG

Comments

Also, die Idee ist, alle "c" auf eine Seite zu bringen und die Lösungsmenge zu bestimmen, sowie die Nullstellen zu berechnen(falls vorhanden), um nicht eindeutige Lösungen ausszuschließen? Korrekt?

...nachdem ich durch (c²-c-2)  geteilt habe, bekomme ich folgende Gleichung:

y= (2-c) / (c²-c-2) Nun muss ich noch die Nullstellen von (c²-c-2) herausbekommen, da man nicht durch 0 teilen kann. Die Nullstellen sind  c1= 2 und c2= -1 ⇒ das lineare Gleichungssystem ist für alle c∈ℝ \ {2}, {-1} eindeutig lösbar.

Damit wäre ja bereits klar, dass es für die Parameterwerte {2} und { -1} nicht lösbar ist. Und somit c) ebenfalls beantwortet.

Sind die Ergebnisse/ Schlussfolgerunegn korrekt ? Wie kann ich die b) lösen, die Prämisse( darf man, dass so sagen?) würde ja bedeuten 0=0 bzw. unendlich viele Lösungen?

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Kann jemand kurz mein Kommentar überprüfen bzw. kommentieren? Wäre sehr hilfreich :)

Answer 2

a • x + b • y = d  ∧

e • x + f • y = g

ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante D der Koeffizientenmatrix ≠ 0

a • f - e • b ≠ 0

x - c*y = 1 
(c -1)* x- 2*y = 1 

1 • (-2) - (c-1) • (-c) = 0  ergibt (hier!) eine quadratische Gleichung 

mit maximal 2 Lösungen c₁ und c_2.

_{Für alle anderen c-Werte ist das LGS eindeutig lösbar.}

c₁ und c₂ setzt man ein und überprüft auf L = { }  oder unendliche Lösungsmenge.