Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu a) Wir lösen das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren. Unser Ziel ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer \(1\) bestehen.$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & 4 & 8 & 6 &\colon2\\-2 & 1 & 7 & 4 &+Z_1\\2 & 2 & 2 & 2 &-Z_1\\\hline1 & 2 & 4 & 3 &+Z_3\\0 & 5 & 15 & 10 &\colon5\\0 & -2 & -6 & -4 &\colon(-2)\\\hline1 & 0 & -2 & -1 &\\0 & 1 & 3 & 2 &\\0 & 1 & 3 & 2 &-Z_2\\\hline1 & 0 & -2 & -1 &\Rightarrow x_1-2x_3=-1\\0 & 1 & 3 & 2 &\Rightarrow x_2+3x_3=2\\0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\end{array}$$Die erste und zweite Gleichung formen wir nach der vordersten Variablen um:$$x_1=-1+2x_3\quad;\quad x_2=2-3x_3$$und geben alle Lösungen an:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+2x_3\\2-3x_3\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$$
zu b) Hier gehen wir genauso ran wie bei Teil a) Denk an das Ziel, wir wollen Spalten haben, die genau eine \(1\) und sonst nur Nullen enthalten.$$\begin{array}{rrrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & = & \text{Aktion}\\\hline-2 & 2 & -4 & 1 & 2 & -8 &-Z_2\\-2 & 2 & -4 & 0 & 0 & -6 &+2Z_3\\1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 4\\\hline0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & \\0 & 2 & -2 & -2 & -2 & 2 & +2Z_1\\1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 4 & +Z_1\\\hline0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & \\0 & 2 & -2 & 0 & 2 & -2 & \colon2\\1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & \\\hline0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & \Rightarrow x_4+2x_5=-2\\0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 &\Rightarrow x_2-x_3+x_5=-1\\1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & \Rightarrow x_1+x_3+x_5=2\end{array}$$Wir stellen die erhaltenen Gleichungen wieder nach der vordersten Variablen um:$$x_4=-2-2x_5\quad;\quad x_2=-1+x_3-x_5\quad;\quad x_1=2-x_3-x_5$$und geben alle Lösungen an:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-x_3-x_5\\-1+x_3-x_5\\x_3\\-2-2x_5\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\-2\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\-2\\1\end{pmatrix}$$
